complexe / géométrie du plan

Posté par cchamw cchamw

bonjour à tous, je souhaiterais savoir comment je dois procéder quand on me demande l'ensemble des nombres complexes z tels que 1, z et z^4 sont alignés, parce que j'essaie de passer par l'argument, c'est donc réel et ensuite tourner l'interieur de l'argument (par ex : (z^4-z)/(1-z)) mais quoi que je fasse je n'arrive pas à obtenir quelque chose de plausible... quelqu'un pourrait il m'aider ?

merci

Posté par rogerd rogerd

Bonjour!

C'est peut-être (à voir...) un peu plus simple avec (z^4-1)/(z-1),  qui doit être réel et est égal à z^3+z^2+z+1.

Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour
Si z est réel distinct de 1 ça marche .
Si z est différent de 1, en égalisant z^3+z^2+z+1 avec son conjugué et après réduction en posant z=x+iy (x et y réels)
On trouve l'équation : x^2-y^2+(2/3) x+1/3=0 qui est celle d' une hyperbole (reste à définir ses éléments).

Posté par cchamw cchamw

tout d'abord merci à tous les deux d'avoir répondu a mon message.
ensuite je suis légèrement bloqué, une fois que j'ai l'égalité entre z^3+z^2+z+1 et son conjugué, je n'arrive pas à réduire !!! je me retrouve avec des Z^3 - conjugué + z^2-conjugué etc... et je ne trouve pas l'expression de l'hyperbole... comment faut il procédé ?

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Hormis l' axe des réels, il semblerait que l' équation de l' hyperbole en question soit:

  

Confirmé par Géogébra:


Pour le calcul:





nous donne l' axe des réels privé de 1 (où les 3 points sont confondus).

puis avec :



soit

Posté par cchamw cchamw

jusqu'a (z-z^-)(z²+zz^-+z²^-+z+z^-+1)=0 je suis d'accord, mais quand je passe aux x et y je n'obtient pas ça...

voila ce que j'obtiens :

2iy(x²+2xiy+x²-y²+y²+x²-2xiy+y²+x+iy+x-iy+1) et en développant c'est encore pire, donc comment fait tu pour obtenire cette expression ?
je ne fais pas ce qu'il faut ?!

Posté par cailloux cailloux

Je t' indique comment je suis passé des affixes aux et

On part de







Et il n'y a plus qu' à remplacer...

Pour être tout à fait rigoureux, il faudrait priver l' hyperbole des points où:

   et sont confondus, c' est à dire les points d' affixe

   et sont confondus, c' est à dire les points d' affixe

Posté par cailloux cailloux

...oublié un à la dernière ligne:

...c' est à dire les points d' affixe

Posté par cailloux cailloux

...il faudrait aussi priver l' axe des réels non seulement du point où les 3 points sont confondus mais aussi du point d' affixe -1 où et le sont...

Posté par cchamw cchamw

Merci beaucoup à toi cailloux.