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topologie: tore

   
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#msg1947175 Posté le 06-08-08 à 23:26
Posté par Profilromu romu

Bonsoir,

j'ai un peu de mal au niveau de ce problème:

Citation :
On considère l'espace \mathbb{R}^2 muni de la distance induite par une norme ||x||^2 = ||(x_1,x_2)||^2 = x_1^2+x_2^2.

1. Pour x,y\in \mathbb{R}^2, on pose x\sim y ssi x-y\in \mathbb{Z}^2.
Montrer que \sim est une relation d'équivalence sur \mathbb{R}^2.

On notera \mathbb{T} l'ensemble quotient de \mathbb{R}^2 par \sim, [x] la classe d'un vecteur x\in \mathbb{R}^2 et \p:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{T} la projection canonique.

2. Pour [x],[y]\in \mathbb{T}, on pose

3$\delta([x],[y]) = \inf \{d(u,v):\ u\in [x],\ v\in [y]\}

Montrer que \delta est bien définie et est une distance sur \mathbb{T}.



Pour la 2), j'ai du mal à montrer l'inégalité triangulaire.

Merci pour votre aide.
re : topologie: tore#msg1947220 Posté le 07-08-08 à 00:11
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Commence par montrer l'égalité suivante :

\Large{\delta([x],[y])=\inf\{||x-y+n||,\; n\in \mathbb{Z}^2\}}


ensuite montre que cet inf est un min.

Pour la suite, on verra après !

Kaiser
re : topologie: tore#msg1947253 Posté le 07-08-08 à 01:18
Posté par Profilromu romu

Bonsoir Kaiser,

pour le premier point, j'ai donc

3$\delta([x],[y]) = \inf \{||u-v||:\ u\in x+\mathbb{Z}^2,\ v\in y+\mathbb{Z}^2 \}

3$= \inf \{||x+k-(y+l)||:\ k,l\in \mathbb{Z}^2\}

3$= \inf \{||x-y+(k-l)||:\ k,l\in \mathbb{Z}^2\}

3$= \inf \{||x-y+n||:\ n\in \mathbb{Z}^2\}.

Du coup c'est vrai que pour voir que l'inf est un min, c'est plus facile à voir. On a quatre points "autour" de notre point x-y qui font partie de \mathbb{Z}^2,
qu'on peut décrire en jouant avec les parties entières par défaut et par excès des coordonnées de x-y.

Mais même en sachant que c'est un min, je me retrouve avec du

\delta([x],[z]) = d(u_0,w_0)

\delta([x],[y])+\delta([y],[z]) = d(u_1,v_0)+d(v_1,w_1)

re : topologie: tore#msg1947294 Posté le 07-08-08 à 10:02
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut

Donc on sait qu'il existe \rm n_0\in\mathbb{Z} tel que \rm d([x],[z])=||x-z+n_0||. De même il existe \rm n_1 et \rm n_2 tels que \rm d([x],[y])=||x-y+n1|| et \rm d([y],[z])=||y-z+n2||.

On a donc \rm d([x],[z])\le||x-z+n1+n2||=||x-y+y-z+n1+n2||\le d([x],[y])+d([y],[z]).

re : topologie: tore#msg1947351 Posté le 07-08-08 à 12:05
Posté par Profilromu romu

ah oui, d'accord.

Merci Ayoub.  
re : topologie: tore#msg1947357 Posté le 07-08-08 à 12:23
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pas de quoi.
re : topologie: tore#msg1947382 Posté le 07-08-08 à 13:45
Posté par Profilromu romu

Citation :
3. On note S^1 = \{x\in \mathbb{R}^2:\ ||x||=1\} le cercle unité. On rappelle que tout élément z de S^1 peut s'écrire sous la forme z=e^{i\theta} pour un nombre réel \theta. Montrer que l'application

3$\stackrel{\sim}{\varphi}:\ \mathbb{R}^2 \rightarrow S^1\times S^1:\ (x_1,x_2) \rightarrow \stackrel{\sim}{\phi}(x_1,x_2) = (e^{2i\p x_1},e^{2i\p x_2})

induit une application bien définie \phi:\ \mathbb{T} \rightarrow S^1\times S^1 et montrer que \phi est une bijection.

4. On munit S^1 de la distance induite d_{S^1} par celle de \mathbb{R}^2, et S^1\times S^1 de la distance produit D définie, pour tous (w_1,w_2) et (z_1,z_2) dans S_1\times S_1, par:

3$D\((w_1,w_2),(z_1,z_2)\) = \max \(d_{S_1}(w_1,z_1),d_{S_1}(w_2,z_2)\).

Montrer que \phi est continue.

5. Montrer que \phi est un homéomorphisme (indication: on pourra commencer par montrer que l'application \rho:\ \mathbb{R} \rightarrow S^1:\ t\rightarrow e^{2i\p t} est ouverte).


Bon là je ne vois pas comment montrer que \rho est ouverte.
Ce problème est la moitié d'un sujet de partiel d'une durée de deux heures,
et je ne vois pas comment en deux trois minutes on peut résoudre cette question? Pour aller rapidement, il me semble qu'on peut utiliser la propriété donnée dans cette page , mais les actions de groupes n'étaient pas encore au programme.

Existe-t'il une démonstration rapide et élémentaire de ce résultat?
re : topologie: tore#msg1947385 Posté le 07-08-08 à 13:55
Posté par Profilromu romu

Je voulais dire

3$\stackrel{\sim}{\phi}:\%20\mathbb{R}^2%20\rightarrow%20S^1\times%20S^1:\%20(x_1,x_2)%20\rightarrow%20\stackrel{\sim}{\phi}(x_1,x_2)%20=%20(e^{2i\p%20x_1},e^{2i\p%20x_2})


re : topologie: tore#msg1947386 Posté le 07-08-08 à 14:03
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Resalut

Il semble assez visuel qu'un intervalle ouvert soit envoyé sur un "arc" ouvert de S1 non?
Ca se démontre très facilement ça il me semble. Enfin, je l'ai pas écrit mais je vois pas où ça pourrait coincer.
On conclut facilement après.

re : topologie: tore#msg1947387 Posté le 07-08-08 à 14:12
Posté par Profilromu romu

Citation :
Il semble assez visuel qu'un intervalle ouvert soit envoyé sur un "arc" ouvert de S1 non?


oui je suis d'accord, mais après pour l'écrire:

Je prends un ouvert U de \mathbb{R}, il faut donc montrer que 3$\rho(U)=\{e^{i2\p t}:\ t\in U\} est ouvert dans S^1.

Je pensais procéder en montrant que \rho(U) est voisinage de chacun de ses points.

Donc je fixe z\in \rho(U), et là il faut trouver un \varepsilon>0 tel que 3$S^1\cap B_{\mathbb{R}^2}(z,\varepsilon) \subset \rho(U), mais là j'ai du mal à choisir cet \varepsilon.
re : topologie: tore#msg1947389 Posté le 07-08-08 à 14:25
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Le plus simple est de considérer la définition.

Si U est un ouvert de R,

p^{-1}(p(U))=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}U+{n}

Comme U+{n} est un translaté d'ouverts c'en est un, et une réunion d'ouverts...

Pour cette démonstration, j'ai utilisé le fait que S1 est homéomorphe à R/Z.
re : topologie: tore#msg1948097 Posté le 08-08-08 à 23:37
Posté par Profilromu romu

ok, je vois, merci Camélia.

re : topologie: tore#msg1948109 Posté le 09-08-08 à 00:49
Posté par Profilromu romu

Il y a une autre question un peu plus loin où j'ai du mal aussi:

Citation :

6. On considère \theta\in \mathbb{R} tel que \tan \theta\in \mathbb{Q} et \Delta_{\theta} = \{re^{i\theta}\}. Soient x et y deux points de \mathbb{R}^2, on définit le segment [x,y] en posant: [x,y] = \{tx+(1-t)y:\ t\in [0,1]\}

(a) Montrer que pour tout x,y,\ [x,y] est fermé dans \mathbb{R}^2.

(b) Montrer qu'il existe p,q\in \mathbb{Z} tels que 3$\p(\Delta_{\theta}) = \p([(0,0),(p,q)]). Montrer que \p induit une bijection de 3$[(0,0),(p,q)[ sur 3$\p(\Delta_{\theta}).

(c) Déduire des questions précédentes que 3$\p(\Delta_{\theta}) est fermé dans \mathbb{T}.


Déjà pour la (b) je ne vois pas comment faire pour montrer l'égalité 3$\p(\Delta_{\theta}) = \p([(0,0),(p,q)]).

re : topologie: tore#msg1948216 Posté le 09-08-08 à 09:07
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Euh, c'est qui pi ?

re : topologie: tore#msg1948238 Posté le 09-08-08 à 10:32
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Schumi > c'est sûrement la projection canonique sur le quotient.

Kaiser
re : topologie: tore#msg1948239 Posté le 09-08-08 à 10:36
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

ah ben, c'est ça en fait (voir le premier message de romu ! )

Kaiser
re : topologie: tore#msg1948279 Posté le 09-08-08 à 11:32
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ah voui, j'avais pas vu.
re : topologie: tore#msg1948319 Posté le 09-08-08 à 13:45
Posté par Profilromu romu

Bonjour,

avec un dessin je crois que c'est un peu plus clair.

J'écris \theta = \frac{p}{q} avec (p,q)\in \mathbb{Z}\times (\mathbb{N}\setminus \{0}, p et q premiers entre eux,

et il me reste à montrer que 3$\p(\Delta_{\theta})%20=%20\p([(0,0),(p,q)]).
re : topologie: tore#msg1948323 Posté le 09-08-08 à 13:53
Posté par Profilromu romu

oups je voulais dire 3$\p(\Delta_{\theta})%20=%20\p([(0,0),(q,p)]).

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