union de compacts et boréliens

Posté par billy billy

Bonjour, je suis en train de lire le livre de theorie de l'integration de brianne & pagès et je coince à un endroit. C'est page 83 pour ceux qui auraient le livre. Sinon, pour ceux qui l'ont pas, voici les données du problème : on a une mesure u sur un espace mesurable (X,B(X)) avec B(X) les boréliens et une suite croissante de boréliens En tel X est égale à la réunion croissante des E_n et la mesure des E_n est finie pour tout n. On a le résultat suivant : pour tout borélien A u(A)=sup{u(F) tel que F est un fermé contenu dans A}.
Le résultat qui m'embête est le suivant : "si l'on peut choisir les boréliens E_n compacts on a pour tout borélien A, u(A)=sup{u(K) tel que K est un compact contenu dans A}." Et la démonstration donnée est : "on remarque que les ensembles FE_n sont compacts comme fermés dans un compact et que u(F)=lim (croissante) u(FE_n)." Et là je ne vois pas, une réunion de compacts n'est pas un compact en général! Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce serait sympa.
Merci d'avance

Posté par kaiser kaiser

Bonjour billy

je ne comprends pas : où vois-tu que l'on utilise le fait qu'une réunion quelconque de compacts est compacte ?

Kaiser

Posté par billy billy

on bien bien F=FX donc F=(FE_n)
mais j'ai peut etre compris les choses de travers, en tout cas je ne vois pas comment cette toute petite phrase montre le résultat.

Posté par kaiser kaiser

Déjà, tu es d'accord que l'on a bien l'égalité



Kaiser

Posté par billy billy

oui ça je suis d'accord

Posté par kaiser kaiser

OK ! c'est d'ailleurs une propriété du cours (du genre convergence monotone pour les mesures).

De là, si on note , comme chaque est un compact inclus dans F, on a l'inégalité suivante pour tout n :



et par suite, en faisant tendre n vers l'infini, on a la première inégalité :

.

L'inégalité provient du fait que (car un compact est un fermé) et que donc le sup de l'ensemble de gauche (c'est-à-dire w(F)) est inférieur au sup de l'ensemble de droite (c'est-à-dire u(F)).
d'où l'égalité souhaitée.

Kaiser

Posté par billy billy

ok, j'ai compris, 1000 merci

Posté par kaiser kaiser

Mais je t'en prie !