fractales et suites

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Bonjour,

Je travail sur mon mémoire qui porte sur les fractales. J'étudie la fractale ci-dessous.

L'algorithme de construction est fort simple à comprendre. Ce qui est plus compliqué à concevoir c'est l'allure vers laquelle tend la fractale après un nombre élevé d'itération : un carré bien plus grand que celui de départ et légèrement incliné.

On voit très clairement que les côtés sont parfaitement rectiligne.

pensez vous qu'il serait possible de le prouver?



Merci d'avance,

Al khwarizmi.

Posté par jamo jamo

Bonjour,

sans rentrer dans les détails, voilà à quoi je pense en voyant cette figure, cela te donnera quelques pistes.

Prenons 1 pour le côté du 1er carré.

Celui qui est au dessus a un côté de 1/2 ; celui encore au-dessus un coté de 1/4 ... puis 1/8 ...

Donc, si on mesure la hauteur totale de cet empilement de carré :

H = 1+1/2+1/4+1/8+...

Et là, on retrouve une belle série qui converge, cela prouve donc qu'on peut "enfermer" cette figure.

Ensuite, je vois aussi qu'on peut prouver assez facilement que la figure obtenue est "inclinée" de 30°.

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Bonjour,

Tout d'abord, j'aimerai te remercier pour ta réponse jamo.

Grâce à toi, j'ai réussi à prouver que les points que j'ai colorés étaient alignés. La suite que tu proposes tend vers 1. Ensuite en plaçant un système d'axes, on peut prouver que les points sont alignés.

J'essaie maintenant de trouver le nombre de carrés que compte la figure à l'étape n. Je n'arrive pas à formaliser cette suite.

étape 1 : 1 carré
étape 2 : 1+4=5 carrés
étape 3 : 1+4+3*4 = 17 carrés
étape 4 : 1+4+3*4+3*3*4 = 53 carrés
étape 5 : 1+4+3*4+3²*4+3³*4 = 161 carrés
etc

Combien y a - t - il de carrés à l'étape n?


Merci d'avance,

Al

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Voici l'image et les points colorés.
J'ai prouvé l'alignement des points blancs et du rouge, puis, à une similitude près, le raisonnement est le même pour n'importe quel autre point.

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour



D'après tes calculs:

Nombre de carrés à l'etape n = 1+ 4.1+ 4.3¹ +....+ 4.3^(n-2)

=

Sauf erreur.

Posté par jeanseb jeanseb



Ca colle avec les nombres que tu as calculés.

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Bonjour,

Merci Jeanseb pour ton aide.

Penses-tu qu'il serait possible de calculer la suite (1+3+3²+....+3^(n-2)) sans l'outil des formules des suites géométriques. Ce n'est pas que je veuille me compliquer la tâche, c'est juste que dans mon mémoire, il vaille mieux que j'évite les formules.


Merci,

Al

Posté par jeanseb jeanseb



Si tu veux ne pas utiliser la formule, redémontre la:

S = 1 + 3 + 3² + ....+ 3^(n-3) +  3^(n-2)

On multiplie à gauche et a droite par 3

3.S = 3 + 3² + 3³ + ....+ 3^(n-2) + 3^(n-1)

On fait: 2ème ligne moins 1ère ligne. Les termes en gras sont identiques en haut et en bas, donc s'éliminent. Il reste:

2.S = 3^(n-1) - 1

Soit  

OK?

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Bien sûr ok!

Merci Jeanseb