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Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel
Bonjour à tous,
J'ai un exercice que je ne parviens même pas à commencer...
Parmi les sous-ensembles suivants de 
4, précisez lesquels sont des sous-espaces vectoriels et lorsque c'est le cas, en donner une base :
1) { (x,y,z,t) 
4 | 3x - y + t = 0 }
2) { (x,y,z,t) 4 | x - y + 2z + t =1 }
3) { (x,y,z,t) 4 | x + t = 0 et 2x + y - z = 0 }
4) { (x,y,z,t) 4 | |x + t| = |y| }
5) { (x,y,z,t) 4 | 
(a,b) 2, (x,y,z,t) = (3a + b, a - b, a + 5b, 2a + b) }
A vrai dire, la définition d'un sous espace vectoriel ne m'évoque pas grand chose (pour ne pas dire rien...), et je ne vois pas comment démarrer l'exercice...
Merci d'avance pour votre aide 
Blink
Salut blink
Soit (E,+) un k-ev. On dit que F est un sous espace vectoriel de E lorsque F est un sous-groupe de E et qu'il est stable par la multiplication par un scalaire.
Maintenant, cette définition n'est jamais utilisée. On préfère utliser la caractérisation suivante:
F est un sev <==> F est non vide et pour tout (a,b,x,y)€k²*F² ax+by € F.
A toi!
Bonjour
Grosso modo, un (sous) espace vectoriel est un ensemble tel que l'addition reste "à l'intérieur de cet ensemble", de même que la multiplication par une constante.
par exemple pour le 1:
soit V(x;y;z;t) un vecteur de l'ensemble; alors 3x - y + t = 0
soit V'(x';y';z';t') un autre vecteur de l'ensemble; alors 3x - y + t = 0
* addition: V+V' (x+x';y+y';z+z';t+t')
Calcule alors 3(x+x') -(y+y')+ (t+t')= 3x - y + t + 3x - y + t = 0+0 = 0
donc la somme V + V' est dans l'ensemble.
* multiplication: tu fais pareil avec V et K.V (et ça marche
Pour le 2, fais pareil. Mais comme le résultat est 1 dans la définition, en additionnant tu trouveras 2. Et donc ce n'est pas un espace vectoriel.
OK?
Rectif:
soit V'(x';y';z';t') un autre vecteur de l'ensemble; alors 3x' - y' + t' = 0
Scuse!
Ok, merci beaucoup pour vos réponses 
en fait, si je suis ton raisonnement Jeanseb, j'obtiens les résultats suivants :
le 1), le 3) et le 5) sont des sev, tandis que le 2) et le 4) n'en sont pas...
(par contre pour le 4) c'est plus au feeling que grâce à une démonstration rigoureuse que j'obtiens ce résultat... )
'lut schumi
> blink
Ca me semble correct.
Pour la 4, ton ensemble est formé des éléments qui vérifient:
x+t=y
ou
x'+t' = -y'
Prends par exemple deux éléments V et V' de l'ensemble tels que y = 1 et y' = -1
en additionnant (x+x') + (t+t')= y+(-y') = 1+(1)= 2 alors que y+y'=1+(-1) = 0, et on sort de l'ensemble.
OK?
salut, j'ai bien lu comment tu montres que c'est un sous-espace vectoriel, mais je ne comprend pas cette étape :
addition: V+V' (x+x';y+y';z+z';t+t')
Calcule alors 3(x+x') -(y+y')+ (t+t')= 3x - y + t + 3x - y + t = 0+0 = 0
comment cela peut il valoir 0 ? merci de m'éclairer
je veux dire par la que je trouve comme développement :
3x+3x'-y-y'+t+t' et que je ne vois pas comment ça peut faire 0...
Bonjour, je sais qu'il faut créer un nouveau topic pour chaque exercice mais dans ce cas présent mon problème a un rapport direct avec la démonstration utilisé dans ce topic.
En fait on me demande si "E' est un sous-espace vectoriel de 4
avec l'énoncé suivant :
E^'={(x_1,x_2,x_3,x_4)∈R^4 tel que x_1-x_4≥0}
J'ai essayé votre méthode et apparemment E' est bien un sous-espace vectoriel.
Or si on prend un vecteur (1,0,0,0) avec un coefficient 
= -1, E' n'est plus un sous-espace vectoriel de 4
Comment c'est possible ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Bonjour
(1, 0, 0, 0) E', ok.
-1*(1, 0, 0, 0) = (-1, 0, 0, 0) 
E', ok.
Tu viens de montrer que E' n'est pas un espace vectoriel, donc ta démonstration précédente était sans doute fausse.
Je reprends avec l'exemple du haut avec mon énoncé
"soit V(x1;x2;x3;x4) un vecteur de l'ensemble; avec x1 - x4 >= 0
soit V'(x1';x2';x3';x4') un autre vecteur de l'ensemble; avec x1' - x4' >= 0
* addition: V+V' (x1+x1';x2+x2';x3+x3';x4+x4')
Calcule alors (x1+x1')-(x4+x4') >= 0
si et seulement si : x1 - x4 + x1' - x4' >= 0
car V et V' 4
donc la somme V + V' est dans l'ensemble."
Donc ma démarche est fausse ?
Tu n'as fait que la motié du chemin. Il faut aussi montrer que pour tout scalaire (ici réel sans doute) et tout vecteur
, tu as
. Et c'est là que le bât blesse...
(Remarque: tu peux "combiner" les deux étapes et montrer que pour tous scalaires a et b et tous vecteurs u et v, tu as au+bv E')
Ah c'est exact !
En fait je croyais qu'on avait le choix entre les deux pour la preuve : soit utiliser l'addition soit utiliser le scalaire.
Bon ben merci pour ton aide très rapide !
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