[Vacances sup/spé] Vers les matrices magiques ...

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[Vacances sup/spé] Vers les matrices magiques ...

Posté le 07-08-08 à 17:57

Posté par lyonnais

Bonjour à tous

Je vous propose pour activer un peu vos neurones un des exos que j'ai eu à l'oral de centrale cette année.

Citation :
Enoncé :

Soit $\textrm A\in M_n(K)$ , $K = \bb{R}$ ou $\bb{C}$    et $n \ge 2$

On considère les applications f₁,...,f_n,g₁,...,g_n  de $\textrm M_n(K) \to K$ tq :

$\Large{\rm \forall (i,j)\in [|1,n|]^2 , f_i(A) = \sum_{k=1}^n a_{ik} , g_j(A) = \sum_{k=1}^n a_{kj}$

1) Montrer que pour tout i dans [|1,n|], f_i et g_i sont des formes linéaires de ... sur ...

Montrer alors que  rg(f₁,...,f_n,g₁,...,g_n) = 2n-1

2) Soit :

$\Large{\rm U=\{A\in M_n(K) tq \forall (i,j)\in [|1,n|]^2 , f_i(A) = g_j(A)\}$

$\Large{\rm U'=\{A\in M_n(K) tq \forall (i,j)\in [|1,n|]^2 , f_i(A) = g_j(A) = 0\}$

Trouver les dimensions des 2 sous espaces vectoriels U et U' après avoir montré que ce sont des sous espaces.

3) On note également :   $\Large{h(A) = \sum_{k=1}^n a_{k,n-k+1}$   et on définit :

$\Large{\rm V=\{A\in M_n(K) tq \forall (i,j)\in [|1,n|]^2 , f_i(A) = g_j(A) = Tr(A) = h(A)\}$

Quelle est la dimension de V ?

Voila. Merci d'avance pour votre participation !

re : [Vacances sup/spé] Vers les matrices magiques ...

Posté le 08-08-08 à 23:04

Posté par lyonnais

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