probleme d'arithmétique
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probleme d'arithmétique
Posté le 09-08-08 à 00:36
Posté par 
zelorac zelorac
rebonjour
Je re-pose donc ici avec beaucoup de joie et de bonne humeur le premier excercice sur lequel ma cervelle se heurte désespérément!
Il s'agit d'un excercice sur les bases.
1. Quelle est la plus petite base b dans laquelle n s'écrit 254? Que vaut alors n en base 10 ?
Alors pour cette question ci AUCUNE IDEE de comment parvenir à la réponse ! Alors si quelqu'un pouvait juste m'indiquer le chemin à suivre ( un indice ) peut etre me sentirai-je éclairée...
2. Un entier naturel s'écrit xy en base 5 et yx en base 7. Déterminer ce nombre dans le systeme décimale.
Pour celui là, j'avais commencer à tout convertir dans le systeme décimale:
xy base 5 donnait 5x+y et yx base 7 donnait 7y +x. je pensais que çà me mènerai à quelque chose mais surprise ma logique infatigable s'en est arrétée là.
Voila. Je crois que c'était tout pour cette partie de l'excercice ( et de mes fabuleux problemes^^).
Je vous souhaite à tous de nouveau UNE TRES BONNE NUIT et un excellent week end!!
zelorac zeloracrebonjour
Je re-pose donc ici avec beaucoup de joie et de bonne humeur le premier excercice sur lequel ma cervelle se heurte désespérément!
Il s'agit d'un excercice sur les bases.
1. Quelle est la plus petite base b dans laquelle n s'écrit 254? Que vaut alors n en base 10 ?
Alors pour cette question ci AUCUNE IDEE de comment parvenir à la réponse ! Alors si quelqu'un pouvait juste m'indiquer le chemin à suivre ( un indice ) peut etre me sentirai-je éclairée...
2. Un entier naturel s'écrit xy en base 5 et yx en base 7. Déterminer ce nombre dans le systeme décimale.
Pour celui là, j'avais commencer à tout convertir dans le systeme décimale:
xy base 5 donnait 5x+y et yx base 7 donnait 7y +x. je pensais que çà me mènerai à quelque chose mais surprise ma logique infatigable s'en est arrétée là.
Voila. Je crois que c'était tout pour cette partie de l'excercice ( et de mes fabuleux problemes^^).
Je vous souhaite à tous de nouveau UNE TRES BONNE NUIT et un excellent week end!!
re : probleme d'arithmétique Posté le 09-08-08 à 01:41
Posté le 09-08-08 à 01:41Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06
Bonjour,
1) Déjà on peut tout de suite écarter les bases 1,2,3,4 et 5, car le nombre proposé contient le chiffre 5.
La plus petite base est donc la base 6 et vaut donc en base 10 :
2) Comme tu l'as remarqué, on peut déterminer que l'entier naturel "n" recherché est tel que :
.
Donc on a :
(E).
Par exemple x=3 et y=2 marche, ce qui nous donne notre entier naturel :
En espérant t'avoir aidé
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Je voulais pas trop développer vu que je vois que tu es en première et que tu t'avances certainement pour l'an prochain. Cependant, on peut vérifier que l'entier naturel que l'on a trouvé est bien le seul possible :
On doit donc résoudre l'équation à deux inconnues dans
. Il y a des solutions d'après le théorème de Bézout car 2 et 3 sont premiers entre eux.
On a le couple=(3;2))
qui est solution évidente. On a donc :
=3(y-y_0))
.
D'après le théorème de Gauss, on a donc :\\y=2k'+y_0=2k'+2=2(k'+1))
avec \in\mathbb{Z}^2)
.
En reportant dans (E), on obtient k=k', donc finalement l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x;y) est :;2(k+1)|k\in\mathbb{Z}\}})
.
Comme on cherche un entier naturel, on finit en résolvant le système suivant :
)+2(k+1)\ge 0\\7(2(k+1))+3(k+1)\ge 0 \Rightarrow)
.
* Si on prend k=-1, on obtient alors
qui conviendrait éventuellement à l'énoncé car s'écrit bien comme demandé dans les bases 5 et 7.
* Si on prend k=0, on obtient la solution déjà vue n=17.
* Si on prend k=1, on obtient
. Convertissons-le alors dans les bases 5 et 7 :
et 
.
On constate alors que l'énoncé n'est plus respecté car en base 5 il faut trois chiffres pour écrire le nombre cherché.
Par conséquent, le nombre trouvé n=17 (et éventuellement n=0) est la seule solution au problème posé.
Voilà si tu as des questions n'hésite pas 
PloufPlouf06 PloufPlouf06Bonjour,
1) Déjà on peut tout de suite écarter les bases 1,2,3,4 et 5, car le nombre proposé contient le chiffre 5.
La plus petite base est donc la base 6 et vaut donc en base 10 :
2) Comme tu l'as remarqué, on peut déterminer que l'entier naturel "n" recherché est tel que :
Donc on a :
Par exemple x=3 et y=2 marche, ce qui nous donne notre entier naturel :
En espérant t'avoir aidé
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Je voulais pas trop développer vu que je vois que tu es en première et que tu t'avances certainement pour l'an prochain. Cependant, on peut vérifier que l'entier naturel que l'on a trouvé est bien le seul possible :
On doit donc résoudre l'équation à deux inconnues dans
On a le couple
D'après le théorème de Gauss, on a donc :
En reportant dans (E), on obtient k=k', donc finalement l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x;y) est :
Comme on cherche un entier naturel, on finit en résolvant le système suivant :
* Si on prend k=-1, on obtient alors
* Si on prend k=0, on obtient la solution déjà vue n=17.
* Si on prend k=1, on obtient
On constate alors que l'énoncé n'est plus respecté car en base 5 il faut trois chiffres pour écrire le nombre cherché.
Par conséquent, le nombre trouvé n=17 (et éventuellement n=0) est la seule solution au problème posé.
Voilà
si tu as des questions n'hésite pas re : probleme d'arithmétique Posté le 09-08-08 à 09:27
Posté le 09-08-08 à 09:27Posté par plumemeteore plumemeteore
bonjour Zelorac et Ploufplouf
problème 2.
on a donc 2x-3y = 0; donc 2x = 3y
x est un multiple de 3 différent de 0 et inférieur à 5, puisqu'il doit servir à écrire un nombre en base 5; x = 3
2*3 = 3y; y = 6/3 = 2
32 en base = 5 = 17 en base 10; 23 en base 7 = 17 en base 10
la solution est unique
plumemeteore plumemeteorebonjour Zelorac et Ploufplouf
problème 2.
on a donc 2x-3y = 0; donc 2x = 3y
x est un multiple de 3 différent de 0 et inférieur à 5, puisqu'il doit servir à écrire un nombre en base 5; x = 3
2*3 = 3y; y = 6/3 = 2
32 en base = 5 = 17 en base 10; 23 en base 7 = 17 en base 10
la solution est unique
re : probleme d'arithmétique Posté le 09-08-08 à 14:59
Posté le 09-08-08 à 14:59Posté par zelorac zelorac
merci beaucoup ploufplouf et plumereore! Je n'aurai jamais trouvé la clef du probleme toute seule... il va falloir que je relise bien pour comprendre mais en tout cas c'est très gentil de votre part de prendre du temps pour me répondre!
zelorac zeloracmerci beaucoup ploufplouf et plumereore! Je n'aurai jamais trouvé la clef du probleme toute seule... il va falloir que je relise bien pour comprendre mais en tout cas c'est très gentil de votre part de prendre du temps pour me répondre!
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