démo linéarité valuation

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démo linéarité valuation

Posté le 12-08-08 à 10:53

Posté par xunil

bonjour,

j'aimerais démontrer la linéarité de la valuation p-adique.

soient a et b deux entiers. pour tout nombre premier p:

$v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ .

on s'en sortirais certainement avec une lourde décomposition en facteur premier du produit ab mais bon je ne suis pas très tenté.

donc si vous avez une jolie démo ...

merci

re : démo linéarité valuation

Posté le 12-08-08 à 11:32

Posté par xunil

nn en fait c'est pas si lourd avec la décomp. c'est même évident

re : démo linéarité valuation

Posté le 12-08-08 à 11:35

Posté par xunil

en effet,

$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$

$b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}$

$ab=p_1^{a_1+b_1}p_2^{a_2+b_2}...p_k^{a_k+b_k}$

pour tout nombre premier p,

$v_p(ab)=a_i+b_i (i\in \{1;2;...;k})$

soit $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ .

oué ca à l'air d'aller...

re : démo linéarité valuation

Posté le 12-08-08 à 14:55

Posté par Camélia

C'est bien de faire les questions et les réponses!

En fait c'est plus facile à rédiger si tu écris

$a=p^{v_p(a)}q$ avec q non divisible par p et l'analogue pour b.

re : démo linéarité valuation

Posté le 12-08-08 à 17:13

Posté par xunil

oui c'est vrai c'est mieux

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