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Décrire une tribu

Posté par
H_aldnoer
12-08-08 à 10:56

Bonjour,



je bloque sur cette exercice.
On se donne \Large{E} un ensemble, deux sous-ensembles \Large{A} et \Large{B} de \Large{E}, tous deux non vides, distincts de \Large{E}, et disjoints.

(i) Décrire de manière exhaustive la plus petite tribu sur \Large{E} qui, parmi ses éléments, contienne à la fois \Large{A} et \Large{B}.

(ii) Décrire ensuite la plus petite algèbre de Boole sur \Large{E} qui, parmi ses éléments, contienne à la fois \Large{A} et \Large{B}.



Voici mes réponses :
(i) La tribu doit contenir \Large{E} et \Large{\empty}.
On veut ensuite qu'elle contienne \Large{A} et \Large{B} donc aussi \Large{A^c} et \Large{B^c}.


Soit \Large{\mathcal{T} = \{ E,\empty,A,A^c,B,B^c\}
Est-ce une tribu ?

1] On a bien \Large{\empty}
2] La stabilité par prise de complémentaire est aussi assurée.
3] Soit \Large{ (A_n)_{n\ge 1} } une famille dénombrable d'éléments \Large{ \mathcal{T}}.

Si l'on suppose que, pour chaque \Large{n}, \Large{A_n} est soit \Large{A} soit, \Large{B} alors \Large{ \Bigcup_{n\ge 1} A_n = A\cup B } qui n'est pas dans \Large{ \mathcal{T}}.

Donc je le rajoute, ainsi que son complémentaire : \Large{\mathcal{T} = \{ E,\empty,A,A^c,B,B^c,A\cup B, (A\cup B)^c\}.

Il reste toujours a vérifier la stabilité par union dénombrable.


- S'il existe un \Large{n} tel que \Large{ A_n=E}, alors \Large{ \Bigcup_{n\ge 1} A_n = E }.


- Sinon,
.si l'un des \Large{ A_n } est un certain ensemble (par exemple \Large{A\cup B}) et l'autre \Large{ A_n } est son complémentaire (par exemple \Large{(A\cup B)^c}), alors on a toujours \Large{ \Bigcup_{n\ge 1} A_n = E }

... après j'arrive pas à me dépatouiller de tous les cas!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décrire une tribu 12-08-08 à 14:59

Bonjour H_aldnoer

Si je ne me trompe pas dans mes lointains souvenirs, une tribu est stable par complémentaire et par réunion dénombrable.

Dans ton cas il manque déjà A\cap B^C} et A^C\cap B donc je pense que tu ne les a pas encore tous... (mais je peux me tromper!)

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 12-08-08 à 23:20

Bonsoir Camélia.


Oui, oui, c'est bien la bonne définition !
Par contre, on parle de réunion, je ne vois pas pourquoi tu fais intervenir une intersection ?

Posté par
1 Schumi 1
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 08:45

Une erreur de frappe entre \cap et `\cup sûrement.

Posté par
otto
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 08:56

Bonjour,
par les regles de De Morgan on passe trivialement avec un complémentaire et une intersection a une union ... et vice versa.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 14:56

Oui, je pensais à la réunion, mais otto (coucou otto ) a raison!

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:34

Bonsoir,


merci pour votre aide.
Est-ce qu'il existe un moyen de savoir combien cette tribu contient d'éléments ?



En rajoutant \Large{ A^c \cup B } (resp. \Large{ B^c \cup A }), il faut aussi rajouter \Large{ (A^c \cup B)^c } (resp. \Large{ (B^c \cup A )^c}) et la tribu s'agrandit !

Je n'ai pas de moyen précis de recherche et je m'éparpille assez rapidement.
J'ai vraiment du mal à trouver une méthode de recherche.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:49

Avec la réflexion d'otto, je me demande bien si cette tribu ne contient pas aussi \Large{ A\cap B }.
En effet, cette tribu contient \Large{ A^c } et \Large{ B^c } donc aussi, par la stabilité par réunion dénombrable, \Large{ A^c \cup B^c}. Puis, par la stabilité par prise de complémentaire, cette tribu contient aussi \Large{ (A^c \cup B^c)^c}.
Or, par De Morgan,  \Large{( A^c \cup B^c)^c = A \cap B}.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:50

Et dans ce cas, il faut aussi rajouter \Large{ (A\cap B)^c } !

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:53

salut H,

oui dans ta tribu, étant donné les axiomes qui la définit, il faut qu'il y ait d'office tout ce qui est intersection ou réunion de deux éléments de \{\emptyset, E, A, A^C, B, B^C\}

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:55

Je remarque d'ailleurs que \Large{ (A^c \cup B)^c = A \cap B^c = A \setminus B } . De même, \Large{ (B^c \cup A)^c = B \cap A^c = B \setminus A } .


Donc, voici les éléments de la tribu : \Large{\mathcal{T}%20=%20\{%20E,\empty,A,A^c,B,B^c,A\cup%20B,%20(A\cup%20B)^c , A \setminus B , B \setminus A , A\cap B , (A\cap B)^c\}.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:57

Bonsoir romu,


quel est ta méthode pour traiter un tel exercice ?
J'ai l'impression de tourner en rond !


Tu fais un tableau avec les intersections puis un avec les réunions ?!

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 20:59

Bonjour à tous,

De manière générale, une tribu est stable par intersection dénombrable (c'est une conséquence du fait que ce soit stable par réunion dénombrable et par complémentaire). Je pense que c'est ce qu'a voulu dire Otto .

à plus,

1emeu

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:02

j'y vais un peu tâtons

tu fais l'union ou l'intersection de deux éléments parmi \{\emptyset,%20E,%20A,%20A^C,%20B,%20B^C\} et regardes ce que ça donne.
Parfois deux notations donne le même élément, comme tu l'as dit par exemple: A^c\cup B^c = (A\cap B)^c, bon le fait de les répéter c'est pas bien grave, sinon tu peux essayer de t'amuser à les simplifier, mais c'est long et chiant.

Après pour une tribu qui contient trois parties A,B,C, c'est long si je me rappelle bien pour attrapper toutes les parties.

Une tribu en fait, ça grossit vite, et c'est dur à décrire de manière explicite ses éléments.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:03

Bonsoir 1emeu,


donc en fait, si on se donne une suite d'éléments \Large{ (A_n)_{n\ge 1} } de \Large{ \mathcal{T} } et que l'on se pose la question de savoir si \Large{ \Bigcap_{n\ge 1} A_n } est dans \Large{ \mathcal{T} } ou pas, la réponse est oui.

Et cela vient du fait que \Large{ \Bigcap_{n\ge 1} A_n = (\Bigcup_{n\ge 1} A_n^c)^c}.


C'est bien ça ?

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:04

Ok romu, mais existe-t-il un moyen de savoir combien d'éléments contient cette tribu ?

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:05

La tribu que tu proposes ne me semble pas complète. En effet, son cardinal doit être une puissance de 2 (ici son cardinal sera 16).

Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2.

Sauf erreurs bien sûr ,

1emeu

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:05

oui c'est ça et c'est une conséquence directe de la définition d'une tribu.

Une autre est qu'une tribu est aussi stable par intersection finie et par union finie.

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:06

Citation :
Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2.


ça me rappelle justement un post de H sur cette question

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:07
Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:09

Citation :
Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2.

Ah ?
Je ne connais pas ce résultat fort intéressant !
D'ou cela vient-il ?

Citation :
Une autre est qu'une tribu est aussi stable par intersection finie et par union finie.


Ok, pour cela, il suffit de poser pour \Large{ n_0} étant fixé, pour tout \Large{ n>n_0} \Large{ A_n=\empty } c'est bien cela ?

Y'a-t-il d'autres conséquences directe de la définition d'une tribu ?

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:11

Ah oui, j'avais bien vu ce résultat mais en proba !


Mais donc ce résultat est valable seulement si les éléments en question forme une partion de \Large{ E } ?

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:15

Citation :
Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2.


J'ai vérifié, c'est vrai quelque soit la tribu. En effet, on arrive toujours à trouver (à l'aide de différence symétrique) une partition de E.

Ce qui est faux c'est de dire que la tribu engendrée par A_1,\cdots, A_n est de cardinal 2^n.
Cette tribu est de cardinal 2^k, mais on a à priori pas d'information sur k

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:17

Ce qui nous fait revenir à ton exercice :

le cardinal de la tribu va être différent selon que A \cap B est vide ou non.

Si A \cap B est vide, le cardinal va être 8
Dans le cas contraire, le cardinal va être 16

Sauf erreurs,

1emeu

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:18

Ah et bien je n'avais pas lu entièrement l'énoncé

A et B sont disjoints, donc le cardinal va être 8

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:22

Mais je ne saisi pas un truc.

Quelque soit la tribu \Large{ \mathcal{T} }, on a toujours que \Large{ card (\mathcal{T}) = 2^n} ou \Large{ n\in\mathcal{N}} ?

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:27

quelque soit le tribu T finie

oui tout à fait

1emeu

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:32

Tu peux voir une tribu munie de l'opération différence symétrique comme un espace vectoriel sur Z/2Z. Or un espace vectoriel fini sur Z/2Z est de cardinal 2^n

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:37

Si \Large{\mathcal{T}} est une tribu finie munie de la différence symétrique, alors \Large{\mathcal{T}} est un \Large{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }-espace vectoriel ou bien est-ce qu'une tribu est toujours un \Large{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }-espace vectoriel ?

Posté par
otto
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:43

Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2
Et une tribu non finie est toujours indénombrable.

On peut voir qu'une tribu sur un ensemble A est en bijection avec une partie de A.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 21:58

Si \Large{ A\cap B = \empty } alors \Large{ \mathcal{T} = \{ \empty , E , A , B , A^c , B^c , A\cup B , (A\cup B)^c \}.


Sinon, \Large{ \mathcal{T} = \{ \empty , E , A , B , A^c , B^c , A\cup B , (A\cup B)^c , A\setminus B , (A\setminus B)^c , B\setminus A , (B\setminus A)^c , A\cap B , (A\cap B)^c , A\Delta B , (A\Delta B)^c\}.


On les a tous ?

Posté par
1emeu
re : Décrire une tribu 13-08-08 à 22:08

Une tribu est toujours un Z/2Z espace vectoriel !

Euh oui j'imagine que tu les as tous (mais je n'ai pas vérifié)

L'énoncé dit que A\cap B = \emptyset donc c'est dans le cadre de ton exercice la première solution

1emeu

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 01:05

Mais que dire de \Large{ (A \setminus B) \cup (E \setminus A) } et \Large{ (A \setminus B) \cup (E \setminus B) } ?

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 01:05

Je traite les deux cas :

i) \Large{ A \cap B = \empty }
ii) \Large{ A \cap B \neq \empty }

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 01:10

Je voulais dire \Large{%20(A%20\cap%20B)%20\cup%20(E%20\setminus%20A)%20} et \Large{%20(A%20\cap%20B)%20\cup%20(E%20\setminus%20B)%20}

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 01:12

Puisque cette tribu contient \Large{ A\cap B } et \Large{ A^c }, \Large{ B^c }, \Large{ A\cup B } ne doit-elle pas contenir aussi :

\Large{ (A\cap B)\cup A^c }
\Large{ (A\cap B)\cup B^c }
\Large{ (A\cap B)\cup (A\cup B)^c }


?

Posté par
otto
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 06:18

Au bout d'un certain temps tu retombes sur des ensembles que tu as deja, c'est un peu le piège.

Un dessin t'aiderait surement.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 10:40

Oui, j'ai du mal !


Je crois que l'on a \Large{ (A\Delta B)^c = A\cap B } non ?

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 10:41

Ah non, c'est faux.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 10:43

C'est plutôt \Large{%20(A\Delta%20B)^c%20=(A\cap%20B)\cup%20(A\cup%20B)^c} !

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 10:47

Donc c'est bon, dans le cas \Large{%20A%20\cap%20B%20\neq%20\empty%20}
 \\ ,
j'ai bien \Large{%20\mathcal{T}%20=%20\{%20\empty%20,%20E%20,%20A%20,%20B%20,%20A^c%20,%20B^c%20,%20A\cup%20B%20,%20(A\cup%20B)^c%20,%20A\setminus%20B%20,%20(A\setminus%20B)^c%20,%20B\setminus%20A%20,%20(B\setminus%20A)^c%20,%20A\cap%20B%20,%20(A\cap%20B)^c%20,%20A\Delta%20B%20,%20(A\Delta%20B)^c\}
 \\ à priori.


Mais aucun élément de cette tribu n'est égale à \Large{%20(A\cap%20B)\cup%20A^c%20} ou \Large{%20(A\cap%20B)\cup%20A^c%20}. Il faut donc les rajouter, mais alors le nombre d'élément de cette tribu n'est plus une puissance de 2 !

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 14-08-08 à 15:28

3$(A\cap B)\cup A^c = (A\cup A^c)\cap (B\cup A^c) = E\cap (B\cup A^c) = B\cup A^c = (B^c\cap A)^c = (A\setminus B)^c

donc tu l'as déjà compté.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 18-08-08 à 11:58

Ah oui, ok.


Je ne suis pas sur d'un truc : a-t-on bien que \Large{%20(A\Delta%20B)^c%20=(A\cap%20B)\cup%20(A\cup%20B)^c} ?


Aussi, les éléments \Large{%20A^c%20\cup%20B%20} et \Large{%20B^c%20\cup%20A%20} doivent être dans la tribu non ?

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 19-08-08 à 12:12

\Large{ A^c\cup B = (A\cap B^c)^c = (A\setminus B)^c } qui est donc déjà compté de même que \Large{ B^c\cup A }.


Par contre, je n'arrive pas à être convaincu que \Large{ (A\cap B) \cup (A\cup B)^c } soit déjà compté.

Posté par
H_aldnoer
re : Décrire une tribu 21-08-08 à 23:07

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 25-08-08 à 02:18

Salut H,

c'est la même règle que d'habitude non?

3$(A\Delta B)^c = [(A\cup B)\cap (A\cap B)^c]^c = (A\cup B)^c \cup (A\cap B)

Posté par
Fradel
re : Décrire une tribu 26-08-08 à 10:28

Bonjour,

Citation :
Tu peux voir une tribu munie de l'opération différence symétrique comme un espace vectoriel sur Z/2Z.


Si j'ai bien compris, si A et B sont deux éléments de la tribu, il en est de même de leur réunion et leur intersection. Je ne vois pas comment on obtient la réunion (l'intersection) de deux ensembles A et B en utilisant seulement la différence symétrique.
La multiplication externe me parait claire : 1*A = A et 0*A = . Est-ce que je me trompe?

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 26-08-08 à 13:49

On a pas besoin d'obtenir l'union à partir de la différence symétrique, elle y est déjà vu que c'est une tribu.

En notant \mathcal{A} notre tribu, on peut voir que (\mathcal{A},\Delta,\cap) est un sous-anneau de l'anneau abélien (\mathcal{P}(E),\Delta,\cap) avec comme neutre O_{\mathcal{A}}=\emptyset et 1_{\mathcal{A}}=E.

On étudie la caractéristique de \mathcal{A} pour en déduire un morphisme injectif de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} dans \mathcal{A}.

Posté par
Fradel
re : Décrire une tribu 27-08-08 à 09:28

Ok Romu, on munit la tribu de la loi de composition interne ; elle est évidemment stable et confère à la tribu une structure de groupe abélien; on voit que est le neutre pour cette loi et que tout élément est son propre symétrique. J'ai bien montré que muni des deux opérations, et , la tribu est un anneau commutatif. Mais je ne comprend pas ce que tu veux dire quand tu écris "On étudie la caractéristique de A pour en déduire un morphisme injectif de /2 dans A."
Pourrais-tu m'expliquer.

       Mes connaissances en la matière ...

Par exemple, soit E l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 6. On considère les deux parties A et B de E :
A : 1, 2
B : 2, 3, 4
La tribu engendrée par A et B contient 8 éléments et est égale à la tribu engendrée par la partition : A, B-A, C
avec C : 5, 6
Comment définis-tu ce "morphisme injectif" ?

Posté par
romu
re : Décrire une tribu 27-08-08 à 11:11

La caractéristique \varphi de \mathcal{A} est l'unique morphisme d'anneau de \mathbb{Z} dans \mathcal{A} ().

Ici on montre que \ker \varphi = 2\mathbb{Z}. Donc en passant au quotient, \varphi induit un isomorphisme \stackrel{\sim}{\varphi} de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} sur \varphi(\mathbb{Z}):

4$\array{rccclBCB$&\mathbb{Z}&\longr[75]^{\varphi}&\mathcal{A}\\3$p&\longd[50]&&\longu[50]&3$i\\&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\longr[75]_{\stackrel{\sim}{\varphi}}&\varphi(\mathbb{Z})}

p est la projection canonique tel que p(x)=\textrm{classe}(x) pour la relation d'équivalence x\mathcal{R}y si  \varphi(x)=\varphi(y). Et i est le morphisme identique tel que i(x) = x.

\stackrel{\sim}{\varphi}:\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \rightarrow \mathcal{A} est le morphisme injectif cherché.

\varphi(\mathbb{Z}) est donc un sous-anneau de \mathcal{A} qu'on peut identifier à \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (c'est en particulier un corps).

Après il faut vérifier la définition d'un espace vectoriel (les huit axiomes) pour conclure.

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