Bonjour,
je bloque sur cette exercice.
On se donne un ensemble, deux sous-ensembles et de , tous deux non vides, distincts de , et disjoints.
(i) Décrire de manière exhaustive la plus petite tribu sur qui, parmi ses éléments, contienne à la fois et .
(ii) Décrire ensuite la plus petite algèbre de Boole sur qui, parmi ses éléments, contienne à la fois et .
Voici mes réponses :
(i) La tribu doit contenir et .
On veut ensuite qu'elle contienne et donc aussi et .
Soit
Est-ce une tribu ?
1] On a bien
2] La stabilité par prise de complémentaire est aussi assurée.
3] Soit une famille dénombrable d'éléments .
Si l'on suppose que, pour chaque , est soit soit, alors qui n'est pas dans .
Donc je le rajoute, ainsi que son complémentaire : .
Il reste toujours a vérifier la stabilité par union dénombrable.
- S'il existe un tel que , alors .
- Sinon,
.si l'un des est un certain ensemble (par exemple ) et l'autre est son complémentaire (par exemple ), alors on a toujours
... après j'arrive pas à me dépatouiller de tous les cas!
Bonjour H_aldnoer
Si je ne me trompe pas dans mes lointains souvenirs, une tribu est stable par complémentaire et par réunion dénombrable.
Dans ton cas il manque déjà et donc je pense que tu ne les a pas encore tous... (mais je peux me tromper!)
Bonsoir Camélia.
Oui, oui, c'est bien la bonne définition !
Par contre, on parle de réunion, je ne vois pas pourquoi tu fais intervenir une intersection ?
Bonjour,
par les regles de De Morgan on passe trivialement avec un complémentaire et une intersection a une union ... et vice versa.
Bonsoir,
merci pour votre aide.
Est-ce qu'il existe un moyen de savoir combien cette tribu contient d'éléments ?
En rajoutant (resp. ), il faut aussi rajouter (resp. ) et la tribu s'agrandit !
Je n'ai pas de moyen précis de recherche et je m'éparpille assez rapidement.
J'ai vraiment du mal à trouver une méthode de recherche.
Avec la réflexion d'otto, je me demande bien si cette tribu ne contient pas aussi .
En effet, cette tribu contient et donc aussi, par la stabilité par réunion dénombrable, . Puis, par la stabilité par prise de complémentaire, cette tribu contient aussi .
Or, par De Morgan, .
salut H,
oui dans ta tribu, étant donné les axiomes qui la définit, il faut qu'il y ait d'office tout ce qui est intersection ou réunion de deux éléments de
Bonsoir romu,
quel est ta méthode pour traiter un tel exercice ?
J'ai l'impression de tourner en rond !
Tu fais un tableau avec les intersections puis un avec les réunions ?!
Bonjour à tous,
De manière générale, une tribu est stable par intersection dénombrable (c'est une conséquence du fait que ce soit stable par réunion dénombrable et par complémentaire). Je pense que c'est ce qu'a voulu dire Otto .
à plus,
1emeu
j'y vais un peu tâtons
tu fais l'union ou l'intersection de deux éléments parmi et regardes ce que ça donne.
Parfois deux notations donne le même élément, comme tu l'as dit par exemple: , bon le fait de les répéter c'est pas bien grave, sinon tu peux essayer de t'amuser à les simplifier, mais c'est long et chiant.
Après pour une tribu qui contient trois parties , c'est long si je me rappelle bien pour attrapper toutes les parties.
Une tribu en fait, ça grossit vite, et c'est dur à décrire de manière explicite ses éléments.
Bonsoir 1emeu,
donc en fait, si on se donne une suite d'éléments de et que l'on se pose la question de savoir si est dans ou pas, la réponse est oui.
Et cela vient du fait que .
C'est bien ça ?
La tribu que tu proposes ne me semble pas complète. En effet, son cardinal doit être une puissance de 2 (ici son cardinal sera 16).
Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2.
Sauf erreurs bien sûr ,
1emeu
oui c'est ça et c'est une conséquence directe de la définition d'une tribu.
Une autre est qu'une tribu est aussi stable par intersection finie et par union finie.
Ah oui, j'avais bien vu ce résultat mais en proba !
Mais donc ce résultat est valable seulement si les éléments en question forme une partion de ?
Ce qui nous fait revenir à ton exercice :
le cardinal de la tribu va être différent selon que est vide ou non.
Si est vide, le cardinal va être 8
Dans le cas contraire, le cardinal va être 16
Sauf erreurs,
1emeu
Tu peux voir une tribu munie de l'opération différence symétrique comme un espace vectoriel sur Z/2Z. Or un espace vectoriel fini sur Z/2Z est de cardinal 2^n
Si est une tribu finie munie de la différence symétrique, alors est un -espace vectoriel ou bien est-ce qu'une tribu est toujours un -espace vectoriel ?
Le cardinal d'une tribu finie est (il me semble) toujours une puissance de 2
Et une tribu non finie est toujours indénombrable.
On peut voir qu'une tribu sur un ensemble A est en bijection avec une partie de A.
Une tribu est toujours un Z/2Z espace vectoriel !
Euh oui j'imagine que tu les as tous (mais je n'ai pas vérifié)
L'énoncé dit que donc c'est dans le cadre de ton exercice la première solution
1emeu
Au bout d'un certain temps tu retombes sur des ensembles que tu as deja, c'est un peu le piège.
Un dessin t'aiderait surement.
Donc c'est bon, dans le cas ,
j'ai bien à priori.
Mais aucun élément de cette tribu n'est égale à ou . Il faut donc les rajouter, mais alors le nombre d'élément de cette tribu n'est plus une puissance de 2 !
Ah oui, ok.
Je ne suis pas sur d'un truc : a-t-on bien que ?
Aussi, les éléments et doivent être dans la tribu non ?
qui est donc déjà compté de même que .
Par contre, je n'arrive pas à être convaincu que soit déjà compté.
Bonjour,
On a pas besoin d'obtenir l'union à partir de la différence symétrique, elle y est déjà vu que c'est une tribu.
En notant notre tribu, on peut voir que est un sous-anneau de l'anneau abélien avec comme neutre et .
On étudie la caractéristique de pour en déduire un morphisme injectif de dans .
Ok Romu, on munit la tribu de la loi de composition interne ; elle est évidemment stable et confère à la tribu une structure de groupe abélien; on voit que est le neutre pour cette loi et que tout élément est son propre symétrique. J'ai bien montré que muni des deux opérations, et , la tribu est un anneau commutatif. Mais je ne comprend pas ce que tu veux dire quand tu écris "On étudie la caractéristique de A pour en déduire un morphisme injectif de /2 dans A."
Pourrais-tu m'expliquer.
Mes connaissances en la matière ...
Par exemple, soit E l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 6. On considère les deux parties A et B de E :
A : 1, 2
B : 2, 3, 4
La tribu engendrée par A et B contient 8 éléments et est égale à la tribu engendrée par la partition : A, B-A, C
avec C : 5, 6
Comment définis-tu ce "morphisme injectif" ?
La caractéristique de est l'unique morphisme d'anneau de dans ().
Ici on montre que . Donc en passant au quotient, induit un isomorphisme de sur :
où est la projection canonique tel que pour la relation d'équivalence si . Et est le morphisme identique tel que .
est le morphisme injectif cherché.
est donc un sous-anneau de qu'on peut identifier à (c'est en particulier un corps).
Après il faut vérifier la définition d'un espace vectoriel (les huit axiomes) pour conclure.
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