Application linéaire

Posté par shigaraii shigaraii

Bonjour,j'ai un DM à faire pour la rentrée et je bloque sur cette question:
On considère un endomorphisme f de R3 vérifiant: f(1;1;0)=(1;1;3); f(0;1;0)=(0,-1;2); f(0,-1,1)=(3,2,11)
Montrez qu'un tel endomorphisme existe et est unique.
(je parviens en général à montrer qu'une application est linéaire mais je n'arrive pas à déterminer l'application ici)
merci de m'aider
salutations

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

Montre que les vecteurs (1;1;0), (0;1;0) et (0;-1;1) forment une base de

Comme tout vecteur de s'écrit comme combinaison linéaire de ces 3 vecteurs, la linéarité de f implique son unicité.

Posté par shigaraii shigaraii

merci de votre aide. J'ai prouvé en calculant le rang que ces vecteurs forment une base de R3 (ceci prouvera bien son existence également?)
Cependant je n'ai pas déterminé l'application linéaire et la question suivante demande de donner sa matrice relativement à la base ce que je parviens à faire seulement  si j'ai l'expression de l'application linéaire, de meme pour montrer que f n'est pas injective...

Posté par Arkhnor Arkhnor

Je note , , , et , ,

Soit un endomorphisme de tel que

Soit un vecteur de .
Comme forme une base de , on peut écrire comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs: , avec trois réels uniques.

Calculons l'image du vecteur par :

par linéarité

L'endomorphisme f est complètement déterminé par l'image d'une base de , et ce de manière unique.

La matrice de t'es demandée dans quelle base ?

Posté par shigaraii shigaraii

merci, le rang prouve bien que ces vecteurs forment une base ?
la matrice est demandée relativement à la base canonique

Posté par critou critou

Bonjour,

(1,0,0) = (1,1,0)+(0,-1,0) = (1,1,0)-(0,1,0)
Donc en notant e1, e2, e3 les vecteurs de la base canonique, par linéarité on a :
f(e1) = f(1,1,0)-f(0,1,0) = (1,1,3)-(0,-1,2) = (1,2,1)

Sauf erreur ! À toi de calculer pour e2 et e3...

Critou

Posté par veleda veleda

bonjour shigaraii
tu n'as pas besoin de la matrice dans la base canonique pour prouver que f n'est pas injective
(u₁,u₂,u₃) est libre mais 3f(u₁)+f(u₂)-f(u₃)=0 donc (f(u₁),f(u₂),f(u₃)) est liée=>f n'est pas injective

Posté par shigaraii shigaraii

merci beaucoup,
en fait je pensais qu'il fallait obtenir l'expression de f. A priori il n'y en a pas besoin?
En fait après je dois donner une base du noyau ker f de f. et habituellement on utilise des systèmes linéaires à résoudre sauf que si je n'ai pas l'expression de f je n'ai pas de système.

Posté par veleda veleda

bonsoir,
tu écris la matrice de f dans la base canonique comme Critou  te l'a dit



tu en déduis la matrice de f dans la base canonique B
1  0  3
2 -1  1
1  2  13
sauf erreur de ma part
et ensuite tu utilises ta méthode habituelle
bon courage

Posté par shigaraii shigaraii

merci.
J'avais bien trouvé cette matrice. Pour trouver une base du noyau ker f de f je dois bien résoudre le système suivant?

x+y+3z=0
-y+2z=0
3x+2y+11z=0
je trouve ker f de f={z(-5,2,1)}=vect[(-5,2,1)]
C'est cela??
mais ensuite je dois établir que Im f ={(x,y,z)/2y+z-5x=0} et en déduire une base de Im f
Je ne vois pas trop quel système résoudre, celui qui utilise la matrice relativement à la base canonique me donne la meme réponse que pour le noyau.

Posté par veleda veleda

bonjour,
si A est la matrice de f dans la base canonique,X(x,y,z) kerf<=>AX=0
soit
x+3z=0
2x-y+z=0
x+2y+13z=0
ce qui donne
x=-3z
y=-5z
z=z
donc kerf=Vect(-3,-5,1)
on en déduit que imf est un plan

Posté par veleda veleda

dans la base canonique l'image du vecteur de composantes (x,y,z) c'est le vecteur de composantes(X,Y,Z) avec
X=x+3z
Y=2x+y+z
Z=x+2y+13z
on en déduit
Z-5X+2Y=0  (1)
c'est bien l'équation d'un plan,pour en avoir une base il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires du plan par exemple
W de composantes(2,5,0) et W'de composantes (0,1,-2)

remarque:
on peut aussi utiliser le fait (v₁,v₂,v₃)engendre imf mais comme v₃=3v₁+v₂ l'image est engendrée par (v₁,v₂)qui est une famille libre donc  :imf=Vect(v₁,v₂)
tu peux vérifier que le vecteur v₁de composantes(1,1,3) est bien dans le plan d'équation (1)

Posté par shigaraii shigaraii

merci beaucoup. Pour la dernière question de cet exercice je dois établir que tout vecteur v=(x,y,z) de R3 se décompose de facon unique sous la forme v=v1+v2 avec v1 appartient à Kerf, v2 appartient à Im f

je peux dire que v1=-3x-5y+z et v2=vect [(0,1,-2);(1,2,-1)]
donc v vérifie -3x-5y+z=x+3y-3z soit -x-2y+z=0 est ce que cela prouve quelque chose?

Posté par veleda veleda

le vecteur v(x,y,z)est un vecteur quelconque de R³
W(2,5,0)etW'(0,1,-2) forment une base de imf
V(-3,-5,1) est une base de kerf
la famille (V,W,W')est libre dans R³(tu sais le montrer?)donc c'est une base de R³ donc tout vecteur v(x,y,z)de R³peut s'écrire de façon unique:v=aV+bWW+cW' avec
v₁₌ aV kerf
v₂=bW+cW'imf

je ne sais pas quel est ton niveau donc je ne sais pas trop ce qu tu es censé savoir

Posté par shigaraii shigaraii

merci
je passe en deuxième année prépa bio (BCPST) mais je galère beaucoup en maths! pour montrer que la famille est libre je peux calculer le rang?

Posté par veleda veleda

oui tu peux calculer le rang

Posté par shigaraii shigaraii

Je suis en train de retravailler cet exercice et j'ai un petit probleme.
Dans le message du 18/08 pourquoi Y=2x+y+z et non Y=2x-y+z (en effet cela ne marche pas ainsi mais dans la matrice canonique il y a un -.

Posté par shigaraii shigaraii

désolé en fait j'ai trouvé mon erreur.
merci à vous