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#msg1950210 Posté le 12-08-08 à 13:54
Posté par Profilxunil xunil

bonjour,

j'ai la décomposition en base p (p premier) d'un entier n:

Citation :
n=n_dp^d+n_{d-1}p^{d-1}+...+n_{1}p+n_0

alors, pour tout entier i,

\big[\frac{n}{p^i}\big]=n_i+n_{i+1}p+...+n_dp^{d-i}


je ne comprend pas cette dernière égalité ...

merci

re : en base p#msg1950251 Posté le 12-08-08 à 14:52
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour xunil

Regarde en base 10; celle que tu connais le mieux!


12345=10^5+2\times 10^4+3\times 10^3+4\times 10^2+5

\frac{12345}{10^3}=10^2+2\times 10+3+\frac{4\times10^2+5}{10^3}

Vu? Je te laisse mettre en forme une démonstration générale!
salutations Camélia #msg1950478 Posté le 12-08-08 à 18:50
Posté par Profilxunil xunil

n=n_dp^d+n_{d-1}p^{d-1}+...+n_{1}p+n_0

\frac{n}{p^i}=n_dp^{d-i}+n_{d-1}p^{d-1-i}+...+n_{i+1}p+n_i+\frac{n_{i-1}p^{i-1}}{p^i}+...+\frac{n_{1}p^{1}}{p^i}+\frac{n_{0}}{p^i}

or n_i<p

donc pour tout entier k\le i-1,

n_k<p

donc n_kp^k<p^{k+1}\le p^i

donc \forall k, \big[\frac{n_kp^k}{p^i}\big]=0

ce qui démontre le résultat...

?

re : en base p#msg1950621 Posté le 12-08-08 à 22:06
Posté par ProfilThierryMasula ThierryMasula

Bonsoir,

au risque d'écrire des bêtises, je me demande si il ne faut pas plutôt dire que

4$\sum_{k=0}^{i-1} n_k.p^k < p^i
re : en base p#msg1950626 Posté le 12-08-08 à 22:16
Posté par Profilsloreviv sloreviv

bonsoir
comme le dit Thierry  il fautdire que pour k entre 0 et (i-1)
0\leq n_k\leq (p-1)
donc
\Sigma_{k=0}^{k=i-1}n_kp^k\leq (p-1)\times \Sigma_{k=0}^{k=i-1}p^k\\ \\ (p-1)\times \Sigma_{k=0}^{k=i-1}p^k\leq \\ (p-1}\times {1-p^{i}\over 1-p}=p^{i}-1

donc 0\leq {\Sigma_{k=0}^{k=i-1}n_kp^k\over p^i}<1
re : en base p#msg1950629 Posté le 12-08-08 à 22:23
Posté par ProfilThierryMasula ThierryMasula

Je dirais même plus

4$\sum_{k=0}^{i-1} n_k.p^k\leq p^i-1 et donc
4$\frac{\sum_{k=0}^{i-1} n_k.p^k}{p^i}\leq 1-\frac1{p^i}\lt 1
re : en base p#msg1950729 Posté le 13-08-08 à 09:35
Posté par Profilxunil xunil

oui ok mais ma méthode convient aussi non ? :

je montre que :\forall k\in \{0;1;2;...;i-1}, n_kp^k<p^i (i étant fixé)

ce qui veut bien dire que chacun de mes quotients (moi je les "coupent") : \frac{n_{i-1}p^{i-1}}{p^i}<1 ....

\frac{n_{k}p^{k}}{p^i}<1 donc que \big[\frac{n_{k}p^{k}}{p^i}\big]=0 (\forall k\in \{0;1;2;...;i-1} et i fixé). non ?

re : en base p#msg1950738 Posté le 13-08-08 à 10:12
Posté par Profilcailloux cailloux

Bonjour,

Tu es en train de supposer que la partie entière d' une somme est la somme des parties entières.

C' est faux...
re : en base p#msg1950739 Posté le 13-08-08 à 10:14
Posté par Profilxunil xunil

ah oui mince ... désolé.

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