ensemble de Julia

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Bonjour à tous,

Je rappel que l'ensemble de Julia est défini par la suite de nombres complexes suivante:

Z_n+1 = Z_n²+c         où c est un nombre complexe fixé au départ, n est un nombre naturel et z un nombre complexe quelconque.

J'ai cru comprendre que si le module d'un élément d'une quelconque suite était supérieur à 2, alors la suite avait de grande chance d'etre une suite divergente.

Mais je ne trouve aucune démonstration. Est-ce une propriété démontrable ou un simple constat?

Merci d'avance à toute personne qui lira ou répondra à ce poste,


Amicaleme,

Al Khwarizmi

Posté par Thallo Thallo

Bonjour
Pour la démo :
on suppose qu'il existe un entier p tel que |Zp|=max(2,|c|)+e (avec e>0)
alors |Z_p+1|=|z_p²+c|>|z_p|²-|c|>|z_p|²-|z_p|=|z_p|(|z_p|-2+1)>|z_p|(1+e)

Puis normalement, on montre que pour tout k>p, |z_k|>|z_p|(1+e)^k-p (à vérifier)
C'est donc une suite réelle supérieure à une suite géométrique de raison >1(qui est donc divergente), d'où |z_n| divergente.

En tout cas, ça se démontre !

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

Bonjour,

merci pour ta réponse Thallo.

Cependant, ce que tu démontre, c'est que  l'ensemble de julia est compris dans un cercle de rayon max(2, |c|).

Ce que j'aimerai prouver, c'est que, dans la suite définie ci-dessus, si un élément quelconque de la suite voit son module dépasser 2, alors la suite est divergente.

Amicalement,

Al

Posté par Thallo Thallo

Dans le cas où |c|<2, ça donne bien ce que tu veux ?
Par contre en effet si |c|>2, là ça pose problème (faut que je recherche le compte-rendu de ceux qui ont fait un TIPE sur les fractales et en partie les ensembles de Julia dans la classe)

Posté par Al-khwarizmi Al-khwarizmi

oui c'est bien ce que tu dis,

tu me rendrais une fière chandelle si tu me trouves la démonstration ou même le TIPE

Posté par Thallo Thallo

je n'ai retrouvé qu'une feuille :s une étude de P₀ et la divergence.
Mais la démonstration est la même que celle que je t'ai donné

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Quelque chose a du m'échapper...



Ceci est évidemment faux! Voir (2+(1/n))!

En revanche si dans la suite citée il existe k tel que |z_k|>2, , et ça parait assez clair que par récurrence |z_n| tend vers +.