Frobenius

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Frobenius

Posté le 13-08-08 à 10:53

Posté par xunil

bonjour,

voilà un théorème:

Citation :
Soient a et b deux entiers
strictement positifs et premiers entre eux. Le nombre relatif d peut s'écrire sous la forme
ax + by pour des entiers x et y positifs ou nuls si et seulement si le nombre $ab-a-b-x$
ne peut pas s'écrire sous cette forme.

_{d'abord ici ne serait ce pas un "d" à la place du x dans : ab-a-b-x ?}

voilà sa démo:

Citation :
Notons $x_0$ et $y_0$ des entiers tels que $ax_0+by_0=1$ . Les solutions (en entiers relatifs) de l'équation $ax+by=d$ sont $x=dx_0-kb$ et $y=dy_0+ka$ . Ainsi, l'équation admet une solution en nombre entiers positifs ou nuls si et seulement s'il existe un entier k tel que $dx_0-kb>-1$ et $y=dy_0+ka>-1$ , autrement dit si et seulement s'il y a un entier dans l'intervalle $]-\frac{dy_0+1}{a};\frac{dx_0+1}{b}[$

jusqu'ici ca va.

par contre je ne comprend pas le but de cette équivalence ...

Citation :
Il s'agit donc de prouver qu'il y a un entier dans l'intervalle $]-\frac{dy_0+1}{a};\frac{dx_0+1}{b}[$ si et seulement s'il n'y en a pas dans l'intervalle $]-\frac{(D-d)y_0+1}{a};\frac{(D-d)x_0+1}{b}[$ où on pose $D=ab-a-b$ .

merci

re : Frobenius

Posté le 13-08-08 à 13:40

Posté par cailloux

Re,

Citation :
_{d'abord ici ne serait ce pas un "d" à la place du x dans : ab-a-b-x ?}

Il me semble bien que oui.

Si c' est le cas dire que $ab-a-b-d$ ne peut pas s' écrire sous la forme...revient bien à dire, en remplaçant $d$ du premier intervalle par $ab-a-b-d$ , qu' il n' y a pas d' entiers dans le second intervalle.

re : Frobenius

Posté le 13-08-08 à 13:58

Posté par xunil

ah oui alors

on a prouvé que si d s'écrivait de la forme au+bv (tous stricts positifs) alors le premier intervalle contient un entier. et donc comme on veut prouver que le nombre D-d ne peut pas s'écrire sous la forme ax+by et bien le deuxième intervalle ne doit pas contenir d'entier...
ok ca marche je regarde la suite

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