arithmétique divisibilité exo

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arithmétique divisibilité exo

Posté le 13-08-08 à 11:28

Posté par xunil

bonjour,

$\clubsuit$

Citation :
Trouver les entiers $n$ tels que $2^{n-1}$ divise $n!$ .

$\clubsuit$

on a l'équivalence:

$2^{n-1}|n!$ <=> $v_p(2^{n-1})\le v_p(n!)$ pour tout nombre premier p.

si $p\neq 2$ on a toujours l'inégalité.

si $p=2$ ,

$v_2(2^{n-1})=n-1$

on est amener à résoudre:

$v_2(n!)\ge n-1$

avec Legendre on a:

$v_2(n!)=\bigsum_{k=1}^{+\infty}\big[\frac{n}{2^k}\big]=\big[n(1-(\frac{1}{2})^k)\big]=$ ?

là j'ai du mal à calculer ca, d'abord $\big[n(1-(\frac{1}{2})^k)\big]<n$ mais après...

en outre je ne sais pas si cette méthode aboutit au résultat.

merci

re : arithmétique divisibilité exo

Posté le 13-08-08 à 11:48

Posté par cailloux

Re,

Je n' ai pas regardé de bien près, mais en abordant ce genre d' exercice, on peut tenter avant toute chose, de faire des conjectures.

Ici, il semblerait bien que les $n$ cherchés soient de la forme $2^q$ avec $q\in\mathbb{N}$ . Cela peut aider pour la suite...

salutations cailloux

Posté le 13-08-08 à 11:51

Posté par xunil

pouh oué tes nombres marchent bien mais si ce sont les seuls une inégalité ne me suffit pas... faudrait que je me ramène à une égalité.

je regarde cela

re : arithmétique divisibilité exo

Posté le 13-08-08 à 13:52

Posté par xunil

j'ai une solution mais elle n'est pas de moi ...

ils sont partis de l'égalité: $v_p(n!)=\frac{n-s_p(n)}{p-1}$ avec $s_p(n)$ la somme des chiffres de n en base p (se démontre avec Legendre)

et donc là:

$v_2(n!)=n-s_2(n)$

soit $n-1=n-s_2(n)$

d'où $s_2(n)=1$

et donc oui les entiers recherchés sont bien les puissances de 2... bien vu

sinon j'avais beau cherché avec ma méthode je n'arrivais à rien ...

re : arithmétique divisibilité exo

Posté le 13-08-08 à 14:09

Posté par cailloux

Ah oui, joli mais pas évident à trouver...

Remarque que ,sans conjecture, on est cuit d' avance...

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