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Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité


autreCalcul d'une espérance en fonction d'une probabilité

#msg1950821 Posté le 13-08-08 à 12:51
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Bonjour à toutes et à tous,

j'ai une égalité, mais je n'arrive pas à comprendre les étapes pour passer du membre de gauche au membre de droite :

Soit X une variable aléatoire positive.
Rappels
F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\mathbb{P}[X\leq x];
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx.

Je dois montrer que

\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[X>x]dx.

Si quelqu'un(e) pouvait me mettre sur la voie...

Merci
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950822 Posté le 13-08-08 à 12:54
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bonjour Nicocabam

Commence par écrire \Large{\mathbb{P}[X > x]} sous la forme d'une espérance.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950843 Posté le 13-08-08 à 14:10
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Je n'y arrive pas...

\mathbb{P}[X>x]=1-\mathbb{P}[X\leq x]=1-F(x)=1-\int_{0}^{x}f(t)dt
Faut-il trouver un lien entre
\int f(t)dt et \int tf(t)dt?

Merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950848 Posté le 13-08-08 à 14:23
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

qu'est-ce que f ? Tu supposes que x possède une densité ? Si oui, ce n'est pas la peine car ça marche tout le temps cette égalité.
Sinon, je vais essayer d'être plus précis : la probabilité que je t'ai demandé de réécrire sous la forme d'une espérance, essaie de l'écrire comme l'espérance d'une certaine indicatrice.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950849 Posté le 13-08-08 à 14:24
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

ah oui, j'oubliais : a priori, il n'y a aucun lien ces deux intégrales.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950856 Posté le 13-08-08 à 14:31
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Je sais que cette égalité est toujours vraie, mais j'aurais voulu le montrer de manière rigoureuse.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950866 Posté le 13-08-08 à 14:45
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bon, le truc c'est comme je te le disais d'exprimer cette proba avec une espérance, à l'aide d'une formule du cours (laquelle peut aisément se déduire de la définition) :

On a pour tout x,

\Large{\mathbb{P}[X > x]=\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\{X > x\}}]}

Pour l'instant, es-tu OK avec moi ?

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950871 Posté le 13-08-08 à 14:49
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Oui, pas de problème...
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950877 Posté le 13-08-08 à 14:56
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Concernant la densité, si X possède un moment d'ordre p>1, la densité existe-t-elle?
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950879 Posté le 13-08-08 à 14:56
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

ensuite, j'utilise une formule du cours que l'on appelle formule de transfert qui permet de calculer une espérance du type \Large{\mathbb{E}[g(X)]}, où g est borélienne (dans le cas où cette espérance existe bel et bien).

On a :
\Large{\mathbb{E}[g(X)]=\Bigint g(x) dP_X(x)}

(et c'est bien à ce niveau où l'on a pas besoin d'une densité : s'il y avait une densité, on aurait \Large{dP_X(x)=f(x)dx}, où f est ladite densité).

toujours OK ?

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950883 Posté le 13-08-08 à 15:00
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Toujours d'accord.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950884 Posté le 13-08-08 à 15:01
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

non, il n'y a aucun rapport entre posséder un moment d'ordre p > 1 et posséder une densité par rapport à la mesure de Lebesgue.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950890 Posté le 13-08-08 à 15:09
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

message de 15h00 :

Ensuite, on utilise cette formule avec la fonction g définie par \Large{g(t)=\mathbb{1}_{\{]x,+\infty[\}}(t)}

on obtient donc

\Large{\mathbb{P}[X%20%3E%20x]=\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\{X%20%3E%20x\}}]=\Bigint \mathbb{1}_{\{]x,+\infty[\}}(t)dP_X(t)}

Ensuite, on intègre des 2 côtés par rapport à x et on fubinise le tout (on a bien le droit car d'une part, on a affaire à deux mesures sigma finies et d'autre part, la fonction intégrée est positive).

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950891 Posté le 13-08-08 à 15:09
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

L'espérance \mathbb{E}[(g(X))^{p}] est supposée finie...
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950893 Posté le 13-08-08 à 15:11
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

je n'ai pas compris ton message de 15h09. (où veux-tu en venir ? et avec quelle g ?)

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950904 Posté le 13-08-08 à 15:26
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Il s'agit du g du message de 14:56.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950907 Posté le 13-08-08 à 15:28
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

tu veux dire...pour que le théorème soit vrai ? Pour ça, il suffit en fait que g(X) soit intégrable.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950916 Posté le 13-08-08 à 15:38
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Tant que j'y suis, l'inégalité de Markov est-elle valable pour les variables (x>0) ou juste pour les constantes \lambda?

Pour X intégrable et pour \lambda>0,

\mathbb{P}[X\geq \lambda]\leq \frac{\mathbb{E}[X]}{\lambda}.

Merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950920 Posté le 13-08-08 à 15:43
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

a priori, lorsque l'on démontre cette inégalité, on a besoin de la positivité de X ainsi que celle de lambda.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1950991 Posté le 13-08-08 à 17:02
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Puis-je encore abuser de ton temps et te demander ton avis sur ma démonstration suivante?

Soit I une variable aléatoire positive, pour laquelle un moment d'ordre p>1 existe et est fini. Si \mu(\epsilon x):=\lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{I>\epsilon x}]+\lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x], montrer qu'il existe C=C(\epsilon) tel que
\mu(\epsilon x)\leq Cx^{1-p}.

Démonstration:

\large\begin{eqnarray} \\  \lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}] & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}>y]dy \\ \\  & = & \lambda\int_{0}^{x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{x}^{+\infty}\mathbb{P}[I>\epsilon y]dy \\ \\  & \leq & \lambda\int_{0}^{x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{x}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}y^{p}}dy \,\,\textrm{ Markov } \\ \\  & = & \lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]+\lambda\mathbb{E}[I^{p}][\frac{y^{1-p}}{\epsilon^{p}(1-p)}]_{x}^{+\infty} \\ \\  &\leq &\lambda x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}+\lambda\mathbb{E}[I^{p}]\frac{x^{1-p}}{p-1} \,\,\textrm{ Markov } \\ \\  & = & \lambda x^{1-p}\frac{1}{\epsilon^{p}}\mathbb{E}[I^{p}](1+\frac{1}{p-1})=C_{1}(\epsilon)x^{1-p} \\  \end{eqnarray} \\

et
\large\lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]\leq \lambda x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}=\frac{\lambda}{\epsilon^{p}}x^{1-p}\mathbb{E}[I^{p}]=C_{2}(\epsilon)x^{1-p} \\

et on prend C(\epsilon)=C_{1}(\epsilon)+C_{2}(\epsilon).

Merci d'avance.

(Il y a des erreurs de compilation, mais je n'arrive pas à voir ce qui cloche : <br/> et [?][?])
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951003 Posté le 13-08-08 à 17:28
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

je crains ne pas comprendre ton raisonnement dans la deuxième inégalité (bon, OK, pour la première car c'est le résultat qu'on a démontré plus haut).

Kaiser
P.S : c'est arrangé pour les erreurs de compilation (\LaTeX n'aime pas trop les espaces ! )
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951009 Posté le 13-08-08 à 17:38
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

non, en fait je vois où tu veux en venir mais il me semble plutôt qu'il faut découper l'intégrale non par rapport à x mais à \Large{\varepsilon x}. En effet, on peut voir que, comme y > 0, on peut voir

\Large{\mathbb{P}[I \mathbb{1}_{\{I > \varepsilon x\}} > y]=\mathbb{P}[I > \max(\varepsilon x, y)]}

ainsi, il faut bien voir la position de y par rapport à \Large{\varepsilon x}.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951011 Posté le 13-08-08 à 17:42
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Lorsque je décompose l'intégrale de 0 à +\infty, si je ne me tronmpe pas, dans la première, on a

0\leq y\leq x

et

\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>y]\mathbb{P}[I>x]=1\cdot\mathbb{P}[I>x]

et dans la seconde,

x\leq y\leq +\infty

et

\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>y]\mathbb{P}[I>x]=\mathbb{P}[I>x]\cdot 1.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951013 Posté le 13-08-08 à 17:43
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

J'étais en train d'écrire lorsque tu as posté...
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951014 Posté le 13-08-08 à 17:50
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Grosse erreur dans mon message de 17:42. Il faut lire

\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>x]
si y\leq x et \mathbb{P}[I>y] si x\leq y.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951016 Posté le 13-08-08 à 17:52
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

je n'ai pas non plus très bien compris tes formules de proba conditionnelle.
En effet, si A et B sont deux événements, on a plutôt la formule suivante :

\Large{\mathbb{P}[A|B]=\frac{\mathbb{P}[A \bigcap B]}{\mathbb{P}[{B}]}

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951021 Posté le 13-08-08 à 18:02
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Oui, bien sûr. Je peux donc appliquer la formule du message de 17:50?
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951033 Posté le 13-08-08 à 18:26
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui mais encore une fois, il y a un epsilon qui doit apparaître.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951038 Posté le 13-08-08 à 18:31
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Merci. J'ai refait la démonstration en décomposant suivant \epsilon x. Comme tu me l'as suggéré, j'ai réécrit la probabilité avec un \max plutôt que conditionnellement.

Merci pour ton aide.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951045 Posté le 13-08-08 à 18:42
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Mais je t'en prie !
ça veut dire que ça marche ?

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951046 Posté le 13-08-08 à 18:44
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Je suis en train de compiler cette démonstration, mais l'indicatrice ne s'affiche pas correctement (2 barres verticales barrées). Par hasard, saurais-tu quel package je dois utiliser? (J'ai cherché sur Google, mais je n'ai pas trouvé).

Merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951053 Posté le 13-08-08 à 18:51
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

compiler où ? sur ce site ou alors sur un logiciel que tu as personnellement sur ton ordi ?

Dans le deuxième cas, il faut utiliser les packages amsfonts et amsmaths (dans le premier cas, pas besoin).

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951055 Posté le 13-08-08 à 18:56
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oups, je me suis trompé pour le deuxième package, il n'y a pas de s, c'est amsmath !

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951061 Posté le 13-08-08 à 19:02
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Pour compiler sur mon ordi... j'ai essayé les deux packages, la compilation s'opère mais \mathbb{1} ne s'affiche pas correctement.

Pour la démonstration, ça a l'air de marcher :

\large{\begin{eqnarray} \\  \lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}] & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}>y]dy \nonumber \\ \\  & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I>\max(\epsilon x,y)] \nonumber \\ \\  & = & \lambda\int_{0}^{\epsilon x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{\epsilon x}^{+\infty}\mathbb{P}[I>y]dy \nonumber \\ \\  & \leq & \lambda\int_{0}^{\epsilon x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{\epsilon x}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{y^{p}}dy \nonumber \\ \\  & = & \lambda\epsilon x\mathbb{P}[I>\epsilon x]+\lambda\mathbb{E}[I^{p}][\frac{y^{1-p}}{(1-p)}]_{\epsilon x}^{+\infty} \nonumber \\ \\  & \leq &\lambda\epsilon x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}+\lambda\mathbb{E}[I^{p}]\frac{(\epsilon x)^{1-p}}{p-1} \nonumber \\ \\  & = & \frac{\lambda}{\epsilon^{p-1}}x^{1-p}\mathbb{E}[I^{p}](1+\frac{1}{p-1})=C_{1}(\epsilon)x^{1-p}; \nonumber \\  \end{eqnarray}}.

Encore merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951063 Posté le 13-08-08 à 19:12
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Les packages en questions sont là pour pouvoir utiliser \mathbb donc je pensais que ça marchait aussi pour le 1 mais apparemment non. D'ailleurs, je viens moi-même d'essayer et effectivement, le résultat n'est pas joli du tout (et en fait, pas du tout ressemblant à ce que l'on veut, enfin bref, le principal c'est que le site le reconnait).

Sinon, ce que tu as fait est correct.

Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951069 Posté le 13-08-08 à 19:26
Posté par ProfilNicocabam Nicocabam

Merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité#msg1951071 Posté le 13-08-08 à 19:28
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

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