Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité
Apprendre à utiliser le forum
La foire aux questions relatives au forum
Comment utiliser le LaTeX sur le forum
Les énigmes du mois en cours
Les classements des joueurs d'énigmes
Le fonctionnement des énigmes
Chercher dans le forum
Les topics n'ayant pas obtenu de réponse
Des statistiques complètes sur ces forums
forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » autre » probabilitéstopics traitant de probabilités » [tout]lister tous les topics de mathématiques
Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité
Posté le 13-08-08 à 12:51
Posté par 
Nicocabam Nicocabam
Bonjour à toutes et à tous,
j'ai une égalité, mais je n'arrive pas à comprendre les étapes pour passer du membre de gauche au membre de droite :
Soit
une variable aléatoire positive.
Rappels
![F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\mathbb{P}[X\leq x];](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\mathbb{P}[X\leq x];)
![\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx.)
Je dois montrer que
![\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[X>x]dx.](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[X>x]dx.)
Si quelqu'un(e) pouvait me mettre sur la voie...
Merci
Nicocabam NicocabamBonjour à toutes et à tous,
j'ai une égalité, mais je n'arrive pas à comprendre les étapes pour passer du membre de gauche au membre de droite :
Soit
Rappels
Je dois montrer que
Si quelqu'un(e) pouvait me mettre sur la voie...
Merci
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 14:23
Posté le 13-08-08 à 14:23Posté par kaiser kaiser 
qu'est-ce que f ? Tu supposes que x possède une densité ? Si oui, ce n'est pas la peine car ça marche tout le temps cette égalité.
Sinon, je vais essayer d'être plus précis : la probabilité que je t'ai demandé de réécrire sous la forme d'une espérance, essaie de l'écrire comme l'espérance d'une certaine indicatrice.
Kaiser
kaiser kaiser qu'est-ce que f ? Tu supposes que x possède une densité ? Si oui, ce n'est pas la peine car ça marche tout le temps cette égalité.
Sinon, je vais essayer d'être plus précis : la probabilité que je t'ai demandé de réécrire sous la forme d'une espérance, essaie de l'écrire comme l'espérance d'une certaine indicatrice.
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 14:24
Posté le 13-08-08 à 14:24Posté par kaiser kaiser
ah oui, j'oubliais : a priori, il n'y a aucun lien ces deux intégrales.
Kaiser
kaiser kaiser ah oui, j'oubliais : a priori, il n'y a aucun lien ces deux intégrales.
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 14:31
Posté le 13-08-08 à 14:31Posté par Nicocabam Nicocabam
Je sais que cette égalité est toujours vraie, mais j'aurais voulu le montrer de manière rigoureuse.
Nicocabam NicocabamJe sais que cette égalité est toujours vraie, mais j'aurais voulu le montrer de manière rigoureuse.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 14:45
Posté le 13-08-08 à 14:45Posté par kaiser kaiser
Bon, le truc c'est comme je te le disais d'exprimer cette proba avec une espérance, à l'aide d'une formule du cours (laquelle peut aisément se déduire de la définition) :
On a pour tout x,
![\Large{\mathbb{P}[X > x]=\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\{X > x\}}]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{P}[X > x]=\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\{X > x\}}]})
Pour l'instant, es-tu OK avec moi ?
Kaiser
kaiser kaiser Bon, le truc c'est comme je te le disais d'exprimer cette proba avec une espérance, à l'aide d'une formule du cours (laquelle peut aisément se déduire de la définition) :
On a pour tout x,
Pour l'instant, es-tu OK avec moi ?
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 14:56
Posté le 13-08-08 à 14:56Posté par Nicocabam Nicocabam
Concernant la densité, si possède un moment d'ordre 
, la densité existe-t-elle?
Nicocabam NicocabamConcernant la densité, si
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 14:56
Posté le 13-08-08 à 14:56Posté par kaiser kaiser
ensuite, j'utilise une formule du cours que l'on appelle formule de transfert qui permet de calculer une espérance du type![\Large{\mathbb{E}[g(X)]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{E}[g(X)]})
, où g est borélienne (dans le cas où cette espérance existe bel et bien).
On a :
![\Large{\mathbb{E}[g(X)]=\Bigint g(x) dP_X(x)}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{E}[g(X)]=\Bigint g(x) dP_X(x)})
(et c'est bien à ce niveau où l'on a pas besoin d'une densité : s'il y avait une densité, on aurait=f(x)dx})
, où f est ladite densité).
toujours OK ?
Kaiser
kaiser kaiser ensuite, j'utilise une formule du cours que l'on appelle formule de transfert qui permet de calculer une espérance du type
On a :
(et c'est bien à ce niveau où l'on a pas besoin d'une densité : s'il y avait une densité, on aurait
toujours OK ?
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 15:01
Posté le 13-08-08 à 15:01Posté par kaiser kaiser
non, il n'y a aucun rapport entre posséder un moment d'ordre p > 1 et posséder une densité par rapport à la mesure de Lebesgue.
Kaiser
kaiser kaiser non, il n'y a aucun rapport entre posséder un moment d'ordre p > 1 et posséder une densité par rapport à la mesure de Lebesgue.
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 15:09
Posté le 13-08-08 à 15:09Posté par kaiser kaiser
message de 15h00 :
Ensuite, on utilise cette formule avec la fonction g définie par![\Large{g(t)=\mathbb{1}_{\{]x,+\infty[\}}(t)}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{g(t)=\mathbb{1}_{\{]x,+\infty[\}}(t)})
on obtient donc
![\Large{\mathbb{P}[X%20%3E%20x]=\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\{X%20%3E%20x\}}]=\Bigint \mathbb{1}_{\{]x,+\infty[\}}(t)dP_X(t)}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{P}[X%20%3E%20x]=\mathbb{E}[\mathbb{1}_{\{X%20%3E%20x\}}]=\Bigint \mathbb{1}_{\{]x,+\infty[\}}(t)dP_X(t)})
Ensuite, on intègre des 2 côtés par rapport à x et on fubinise le tout (on a bien le droit car d'une part, on a affaire à deux mesures sigma finies et d'autre part, la fonction intégrée est positive).
Kaiser
kaiser kaiser message de 15h00 :
Ensuite, on utilise cette formule avec la fonction g définie par
on obtient donc
Ensuite, on intègre des 2 côtés par rapport à x et on fubinise le tout (on a bien le droit car d'une part, on a affaire à deux mesures sigma finies et d'autre part, la fonction intégrée est positive).
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 15:11
Posté le 13-08-08 à 15:11Posté par kaiser kaiser
je n'ai pas compris ton message de 15h09. (où veux-tu en venir ? et avec quelle g ?)
Kaiser
kaiser kaiser je n'ai pas compris ton message de 15h09. (où veux-tu en venir ? et avec quelle g ?)
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 15:28
Posté le 13-08-08 à 15:28Posté par kaiser kaiser
tu veux dire...pour que le théorème soit vrai ? Pour ça, il suffit en fait que g(X) soit intégrable.
Kaiser
kaiser kaiser tu veux dire...pour que le théorème soit vrai ? Pour ça, il suffit en fait que g(X) soit intégrable.
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 15:38
Posté le 13-08-08 à 15:38Posté par Nicocabam Nicocabam
Tant que j'y suis, l'inégalité de Markov est-elle valable pour les variables)
ou juste pour les constantes 
?
Pour intégrable et pour 
,
![\mathbb{P}[X\geq \lambda]\leq \frac{\mathbb{E}[X]}{\lambda}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb{P}[X\geq \lambda]\leq \frac{\mathbb{E}[X]}{\lambda})
.
Merci.
Nicocabam NicocabamTant que j'y suis, l'inégalité de Markov est-elle valable pour les variables
Pour
Merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 15:43
Posté le 13-08-08 à 15:43Posté par kaiser kaiser
a priori, lorsque l'on démontre cette inégalité, on a besoin de la positivité de X ainsi que celle de lambda.
Kaiser
kaiser kaiser a priori, lorsque l'on démontre cette inégalité, on a besoin de la positivité de X ainsi que celle de lambda.
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 17:02
Posté le 13-08-08 à 17:02Posté par Nicocabam Nicocabam
Puis-je encore abuser de ton temps et te demander ton avis sur ma démonstration suivante?
Soit
une variable aléatoire positive, pour laquelle un moment d'ordre existe et est fini. Si ![\mu(\epsilon x):=\lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{I>\epsilon x}]+\lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mu(\epsilon x):=\lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{I>\epsilon x}]+\lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x])
, montrer qu'il existe )
tel que
\leq Cx^{1-p})
.
Démonstration:
![\large\begin{eqnarray} \\ \lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}] & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}>y]dy \\ \\ & = & \lambda\int_{0}^{x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{x}^{+\infty}\mathbb{P}[I>\epsilon y]dy \\ \\ & \leq & \lambda\int_{0}^{x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{x}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}y^{p}}dy \,\,\textrm{ Markov } \\ \\ & = & \lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]+\lambda\mathbb{E}[I^{p}][\frac{y^{1-p}}{\epsilon^{p}(1-p)}]_{x}^{+\infty} \\ \\ &\leq &\lambda x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}+\lambda\mathbb{E}[I^{p}]\frac{x^{1-p}}{p-1} \,\,\textrm{ Markov } \\ \\ & = & \lambda x^{1-p}\frac{1}{\epsilon^{p}}\mathbb{E}[I^{p}](1+\frac{1}{p-1})=C_{1}(\epsilon)x^{1-p} \\ \end{eqnarray} \\](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large\begin{eqnarray} \\ \lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}] & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}>y]dy \\ \\ & = & \lambda\int_{0}^{x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{x}^{+\infty}\mathbb{P}[I>\epsilon y]dy \\ \\ & \leq & \lambda\int_{0}^{x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{x}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}y^{p}}dy \,\,\textrm{ Markov } \\ \\ & = & \lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]+\lambda\mathbb{E}[I^{p}][\frac{y^{1-p}}{\epsilon^{p}(1-p)}]_{x}^{+\infty} \\ \\ &\leq &\lambda x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}+\lambda\mathbb{E}[I^{p}]\frac{x^{1-p}}{p-1} \,\,\textrm{ Markov } \\ \\ & = & \lambda x^{1-p}\frac{1}{\epsilon^{p}}\mathbb{E}[I^{p}](1+\frac{1}{p-1})=C_{1}(\epsilon)x^{1-p} \\ \end{eqnarray} \\ )
et
![\large\lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]\leq \lambda x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}=\frac{\lambda}{\epsilon^{p}}x^{1-p}\mathbb{E}[I^{p}]=C_{2}(\epsilon)x^{1-p} \\](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large\lambda x\mathbb{P}[I>\epsilon x]\leq \lambda x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}=\frac{\lambda}{\epsilon^{p}}x^{1-p}\mathbb{E}[I^{p}]=C_{2}(\epsilon)x^{1-p} \\ )
et on prend=C_{1}(\epsilon)+C_{2}(\epsilon))
.
Merci d'avance.
(Il y a des erreurs de compilation, mais je n'arrive pas à voir ce qui cloche :
br
et ![[?][?]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?[?][?])
)
Nicocabam NicocabamPuis-je encore abuser de ton temps et te demander ton avis sur ma démonstration suivante?
Soit
Démonstration:
et
et on prend
Merci d'avance.
(Il y a des erreurs de compilation, mais je n'arrive pas à voir ce qui cloche :
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 17:28
Posté le 13-08-08 à 17:28Posté par kaiser kaiser
je crains ne pas comprendre ton raisonnement dans la deuxième inégalité (bon, OK, pour la première car c'est le résultat qu'on a démontré plus haut).
Kaiser
P.S : c'est arrangé pour les erreurs de compilation (
n'aime pas trop les espaces ! 
)
kaiser kaiser je crains ne pas comprendre ton raisonnement dans la deuxième inégalité (bon, OK, pour la première car c'est le résultat qu'on a démontré plus haut).
Kaiser
P.S : c'est arrangé pour les erreurs de compilation (
)re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 17:38
Posté le 13-08-08 à 17:38Posté par kaiser kaiser
non, en fait je vois où tu veux en venir mais il me semble plutôt qu'il faut découper l'intégrale non par rapport à x mais à
. En effet, on peut voir que, comme y > 0, on peut voir
![\Large{\mathbb{P}[I \mathbb{1}_{\{I > \varepsilon x\}} > y]=\mathbb{P}[I > \max(\varepsilon x, y)]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{P}[I \mathbb{1}_{\{I > \varepsilon x\}} > y]=\mathbb{P}[I > \max(\varepsilon x, y)]})
ainsi, il faut bien voir la position de y par rapport à.
Kaiser
kaiser kaiser non, en fait je vois où tu veux en venir mais il me semble plutôt qu'il faut découper l'intégrale non par rapport à x mais à
ainsi, il faut bien voir la position de y par rapport à
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 17:42
Posté le 13-08-08 à 17:42Posté par Nicocabam Nicocabam
Lorsque je décompose l'intégrale de
à 
, si je ne me tronmpe pas, dans la première, on a
et
![\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>y]\mathbb{P}[I>x]=1\cdot\mathbb{P}[I>x]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>y]\mathbb{P}[I>x]=1\cdot\mathbb{P}[I>x])
et dans la seconde,
et
![\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>y]\mathbb{P}[I>x]=\mathbb{P}[I>x]\cdot 1](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>x\}}>y]=\mathbb{P}[I>y\,|\,I>x]=\mathbb{P}[I>y]\mathbb{P}[I>x]=\mathbb{P}[I>x]\cdot 1)
.
Nicocabam NicocabamLorsque je décompose l'intégrale de
et
et dans la seconde,
et
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 17:52
Posté le 13-08-08 à 17:52Posté par kaiser kaiser
je n'ai pas non plus très bien compris tes formules de proba conditionnelle.
En effet, si A et B sont deux événements, on a plutôt la formule suivante :
![\Large{\mathbb{P}[A|B]=\frac{\mathbb{P}[A \bigcap B]}{\mathbb{P}[{B}]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\Large{\mathbb{P}[A|B]=\frac{\mathbb{P}[A \bigcap B]}{\mathbb{P}[{B}]})
Kaiser
kaiser kaiser je n'ai pas non plus très bien compris tes formules de proba conditionnelle.
En effet, si A et B sont deux événements, on a plutôt la formule suivante :
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 18:31
Posté le 13-08-08 à 18:31Posté par Nicocabam Nicocabam
Merci. J'ai refait la démonstration en décomposant suivant
. Comme tu me l'as suggéré, j'ai réécrit la probabilité avec un 
plutôt que conditionnellement.
Merci pour ton aide.
Nicocabam NicocabamMerci. J'ai refait la démonstration en décomposant suivant
Merci pour ton aide.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 18:44
Posté le 13-08-08 à 18:44Posté par Nicocabam Nicocabam
Je suis en train de compiler cette démonstration, mais l'indicatrice ne s'affiche pas correctement (2 barres verticales barrées). Par hasard, saurais-tu quel package je dois utiliser? (J'ai cherché sur Google, mais je n'ai pas trouvé).
Merci.
Nicocabam NicocabamJe suis en train de compiler cette démonstration, mais l'indicatrice ne s'affiche pas correctement (2 barres verticales barrées). Par hasard, saurais-tu quel package je dois utiliser? (J'ai cherché sur Google, mais je n'ai pas trouvé).
Merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 18:51
Posté le 13-08-08 à 18:51Posté par kaiser kaiser
compiler où ? sur ce site ou alors sur un logiciel que tu as personnellement sur ton ordi ?
Dans le deuxième cas, il faut utiliser les packages amsfonts et amsmaths (dans le premier cas, pas besoin).
Kaiser
kaiser kaiser compiler où ? sur ce site ou alors sur un logiciel que tu as personnellement sur ton ordi ?
Dans le deuxième cas, il faut utiliser les packages amsfonts et amsmaths (dans le premier cas, pas besoin).
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 18:56
Posté le 13-08-08 à 18:56Posté par kaiser kaiser
oups, je me suis trompé pour le deuxième package, il n'y a pas de s, c'est amsmath !
Kaiser
kaiser kaiser oups, je me suis trompé pour le deuxième package, il n'y a pas de s, c'est amsmath !
Kaiser
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 19:02
Posté le 13-08-08 à 19:02Posté par Nicocabam Nicocabam
Pour compiler sur mon ordi... j'ai essayé les deux packages, la compilation s'opère mais \mathbb{1} ne s'affiche pas correctement.
Pour la démonstration, ça a l'air de marcher :
![\large{\begin{eqnarray} \\ \lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}] & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}>y]dy \nonumber \\ \\ & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I>\max(\epsilon x,y)] \nonumber \\ \\ & = & \lambda\int_{0}^{\epsilon x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{\epsilon x}^{+\infty}\mathbb{P}[I>y]dy \nonumber \\ \\ & \leq & \lambda\int_{0}^{\epsilon x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{\epsilon x}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{y^{p}}dy \nonumber \\ \\ & = & \lambda\epsilon x\mathbb{P}[I>\epsilon x]+\lambda\mathbb{E}[I^{p}][\frac{y^{1-p}}{(1-p)}]_{\epsilon x}^{+\infty} \nonumber \\ \\ & \leq &\lambda\epsilon x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}+\lambda\mathbb{E}[I^{p}]\frac{(\epsilon x)^{1-p}}{p-1} \nonumber \\ \\ & = & \frac{\lambda}{\epsilon^{p-1}}x^{1-p}\mathbb{E}[I^{p}](1+\frac{1}{p-1})=C_{1}(\epsilon)x^{1-p}; \nonumber \\ \end{eqnarray}}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\large{\begin{eqnarray} \\ \lambda\mathbb{E}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}] & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I\mathbb{1}_{\{I>\epsilon x\}}>y]dy \nonumber \\ \\ & = & \lambda\int_{0}^{+\infty}\mathbb{P}[I>\max(\epsilon x,y)] \nonumber \\ \\ & = & \lambda\int_{0}^{\epsilon x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{\epsilon x}^{+\infty}\mathbb{P}[I>y]dy \nonumber \\ \\ & \leq & \lambda\int_{0}^{\epsilon x}\mathbb{P}[I>\epsilon x]dy+\lambda\int_{\epsilon x}^{+\infty}\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{y^{p}}dy \nonumber \\ \\ & = & \lambda\epsilon x\mathbb{P}[I>\epsilon x]+\lambda\mathbb{E}[I^{p}][\frac{y^{1-p}}{(1-p)}]_{\epsilon x}^{+\infty} \nonumber \\ \\ & \leq &\lambda\epsilon x\frac{\mathbb{E}[I^{p}]}{\epsilon^{p}x^{p}}+\lambda\mathbb{E}[I^{p}]\frac{(\epsilon x)^{1-p}}{p-1} \nonumber \\ \\ & = & \frac{\lambda}{\epsilon^{p-1}}x^{1-p}\mathbb{E}[I^{p}](1+\frac{1}{p-1})=C_{1}(\epsilon)x^{1-p}; \nonumber \\ \end{eqnarray}})
.
Encore merci.
Nicocabam NicocabamPour compiler sur mon ordi... j'ai essayé les deux packages, la compilation s'opère mais \mathbb{1} ne s'affiche pas correctement.
Pour la démonstration, ça a l'air de marcher :
Encore merci.
re : Calcul d'une espérance en fonction d'une probabilité Posté le 13-08-08 à 19:12
Posté le 13-08-08 à 19:12Posté par kaiser kaiser
Les packages en questions sont là pour pouvoir utiliser \mathbb donc je pensais que ça marchait aussi pour le 1 mais apparemment non. D'ailleurs, je viens moi-même d'essayer et effectivement, le résultat n'est pas joli du tout (et en fait, pas du tout ressemblant à ce que l'on veut, enfin bref, le principal c'est que le site le reconnait).
Sinon, ce que tu as fait est correct.
Kaiser
kaiser kaiser Les packages en questions sont là pour pouvoir utiliser \mathbb donc je pensais que ça marchait aussi pour le 1 mais apparemment non. D'ailleurs, je viens moi-même d'essayer et effectivement, le résultat n'est pas joli du tout (et en fait, pas du tout ressemblant à ce que l'on veut, enfin bref, le principal c'est que le site le reconnait).
Sinon, ce que tu as fait est correct.
Kaiser
Seuls les membres peuvent poster sur le forum !
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.
Imprimer
Réduire
Agrandir
connectez vous
probabilités en post-bac forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » autre » probabilitéstopics traitant de probabilités » [tout]lister tous les topics de mathématiques
Fiches de maths
Encyclopédie
Annuaire
Outils
Jeux
Ce site
Nouveau
Livre d'or
Newsletter
île des maths
île de la physique
