Résolution d'un système différentiel linéaires à coéfficient cst

Posté par Wood80 Wood80

Bonjour à tous et merci de vous intéressés à mon problème.

J'ai un système pas très dur, qui est celui-ci:
|x1'(t)=2x1(t)+x2(t)-x3(t)+2t+1
|x2'(t)=x1(t)       +x3(t)+exp(t)+1
|x3'(t)=3x1(t)+x2(t)      +t²+3

donc j'ai X'(t)=AX(t)+B(t)

A=|2 1 -1|           et B(t)=|2t+1    |
  |1 0  1|                   |exp(t)+1|
  |3 1  0|                   |t²+3    |

Donc je résous avec X(t)=exp(A*t)*C

Pour calculer exp(A*t) j'utilise A=PJP(-1)
Et donc exp(A*t)=P*exp(t*J)*P(-1)

avec exp(t*J)=exp(t*D)*exp(t*N)
Avec J=|0 0 0|   =    |0 0 0|     |0 0 0|
       |0 1 1|        |0 1 0|  +  |0 0 1|
       |0 0 1|        |0 0 1|     |0 0 0|

Donc exp(tD)exp(tN) = |1 0    0   |  *  (Id+tN)
                      |0 e(t) 0   |
                      |0 0    e(t)|


Mon problème est ici, je comprend pas pourquoi le exp(tn)=ID+tN, enfin si je comprend pourquoi mais dois-je en déduire une "règle" ou est-ce vraiment dans un cas précis qu'est celui-ci ?

Merci d'avoir lu mon message et merci beaucoup de m'aider.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

C'est général. Si N est une matrice nilpotente, par exemple N^k=0. On a



Dans ton cas N²=0.