Loi uniforme - proba

Posté par Charloware Charloware

On prend au hasard un objet parmi n objets numérotés de 1 à n et on appelle X le numéro de l'objet choisi.

Montrer que : E(X) = (n+1)/2

Cette petite question m'ennuie...

Est-ce que c'est : E(X) = (de i=1 à n) x_i p_i = n((n+1)/2)(1/n) ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

X peut prendre n valeurs : x₁=1, ..., x_n=n.
Pour chacune d'elle, la probabilité est p_i=1/n.

Il te reste à applique la formule.

Nicolas

Posté par Charloware Charloware

Bonjour Nicolas,
c'est donc bien ce que j'ai fait ?... à moins que ma formule soit fausse ?
Merci

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Si c'est ce que tu as fait et que tu as trouvé le résultat attendu, tout va bien.

Posté par Charloware Charloware

J'ai écrit ce que j'ai fait dans mon premier message, je pense que ça doit etre correct

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Le problème de ton premier message est qu'il manque les calculs intermédiaires : on ne comprend pas quelle valeur tu donnes aux xi et pi.

Posté par Charloware Charloware

E(X) = (de i=1 à n) x_i p_i = 1/n (de i=1 à n) x_i = (1/n)(n((n+1)/2))

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

OK

Posté par Charloware Charloware

Merci bien

Posté par Charloware Charloware

Et comment montrer que la variance est égale à (n²-1)/12 ??

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Applique la formule.

Posté par Charloware Charloware

Var(x) = p_i (x_i - X)², X étant la moyenne.

Mais j'arrive pas à passer au calcul numérique... =/

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Utilise plutôt l'autre formule.

Posté par Charloware Charloware

Var = E(X²) - E(X)² ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Oui.

Posté par Charloware Charloware

= (de i=1 à n) p_i x_i² - ((n+1)/2)²
= 1/n (de i=1 à n) x_i² - (n²+2n+1)/4
= ?...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Remplace les x_i par leurs valeurs...

Posté par Charloware Charloware

Hmmm, x_i prend toutes les valeurs de 1 à n, donc on remplace par (n+1)/2 ?

donc :
= (1/n)n(n+1)/2 - (n²+2n+1)/4
= (n+1)/2 - (n²+2n+1)/4 mais ça marche pas du tout... ?!

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Et retrouve la formule usuelle 1²+2²+...+n² = ???

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

J'ai du mal à comprendre ce que tu fais.





Continue...

Posté par Charloware Charloware

Ah... oui, 1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6

d'ou V(X) = (n+1)(2n+1)/6 - ((n+1)/2)²
= (4n²+6n+2)/12 - (3n²+6n+3)/12
= (n²-1)/12

Merci à toi Nicolas

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je t'en prie.