Loi de Pascal

Posté par Charloware Charloware

Bonjour, voici l'intitulé, il n'y a qu'une question.

On considère une urne contenant exactement deux catégories de boules :
- des blanches en proportion p ;
- des noires en proportion q = 1 - p.
On tire au hasard n fois de suite et avec remise une boule d'une urne.
Soit r*
On note X_r le rang d'apparition de la r_ième boule blanche. On dit que X_r est le temps d'attente du r_ième succès dans une succession d'épreuves indépendantes, chacune des épreuves ayant exactement deux issues - le succès et l'échec - de probabilités respectives p et q = 1 - p (il s'agit donc d'épreuves de Bernoulli).

Montrer que : pour tout k appartenant à [r ; [, P(X_r = k) = ((r-1)parmi(k-1)) p^r q^(k-r)

Merci de votre aide.

Posté par Fradel Fradel

Bonjour,

1)  Il n'est pas sûr que pour n fixé, on puisse obtenir r boules blanches; c'est même un événement impossible si n<r.
Pour une loi de Pascal de paramètres r et p, on effectue des tirages jusqu'à l'obtention de la r^ème boules blanches.

2)  L'événement (X_r=k) est réalisé lorsqu'au cours des k-1 premiers tirages on a obtenu r-1 boules blanches et une boule blanche au dernier tirage.

3)  Les tirages se faisant avec remise, on peut écrire
      P(X_r=k)=P(A).P(B)
où A:"au cours des k-1 premiers tirages on a obtenu r-1 boules blanches" et B:"obtenir une boule blanche au dernier tirage".
On a
      P(A)= C_k-1^r-1.p^r-1.q^(k-1)-(r-1)   et   P(B)=p

Je te laisse finir ?

Posté par Charloware Charloware

Merci beaucoup Fradel !

Posté par Charloware Charloware

Hop là, y'a une petite suite à l'histoire : loi binomiale négative :

On note Y_r le nombre d'échecs précédent le r_ième succès ; Y_r = X_r - r.

X suit une loi binomiale négative négative de paramètres r et p si X

Posté par Charloware Charloware

Hop là, y'a une petite suite à l'histoire : loi binomiale négative :

On note Y_r le nombre d'échecs précédent le r_ième succès ; Y_r = X_r - r.

X suit une loi binomiale négative de paramètres r et p si X + r suit une loi de Pascal de paramètres r et p.

Montrer que : X() = et k, P(X=k) = ((r-1) parmi (k+r-1)) p^r q^k
Vérifier de plus que : E(X) = rq/p et Var(X) = rq/p²

PS : désolé pour le post précédent...

Posté par Fradel Fradel

Bonjour Charloware,

Pour l'espérance:
1) il faut savoir (et savoir démontrer) que
      _k>=rC_k^rx^k-r=1/(1-x)^r+1
2) Z suit une loi de Pascal de paramètres r et p; donc
      E(Z)=_k>=rk.C_k-1^r-1p^rq^k-r
En utilisant k.C_k-1^r-1=r.C_k^r
      E(Z)=r.p^r._k>=rC_k^rq^k-r
Et donc:
      E(Z)=r.p^r/(1-q)^r+1=r/p
3) E(Z-r)=r/p-r=r.q/p
En utilisant tes notations:
   Z=X+r  et donc  Z-r=X

Pour la variance:
On ruse un peu en écrivant:
    V(Z)=E(Z.(Z+1))-E(Z)-E(Z)²
et on utilise:
    k.(k+1).C_k-1^r-1=r.(r+1).C_k+1^r+1
C'est grosso-modo la même démonstration que ci-dessus. Je te la laisse?