Exercice sur les barycentres.

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Exercice sur les barycentres.

Posté le 18-08-08 à 11:10

Posté par valentin0108

Bonjour je n'arrive pas a resoudre un exercice de niveau 1ere S sur les barycentres.

On donne un triangle [A,B,C] tel que d[A,B]=d[A,C]=4a et d[B,C]=2a.

1] Soit G le barycentre du systeme [A,x], [B,1], [C,1] ou x est un nombre reel different de -2. Demontrer que quel que soit x, G est un point de la droite AI, I etant le milieu de [BC].

G barycentre de [A,x],[I,2] ce qui prouve que G,A et I sont alignes.

2] Caracteriser G quand x=-1

G barycentre de [A,1], [I,-2], alors AG=2AI , pour l'instant tout va bien.

3] G etant le point defini a la deuxieme question, montrer que quel que soit M dans le plan, on a MB²+MC²-MA²= MG²+GB²+GC²-GA².
Calculer MB²+MC²-MA² en fonction de MG² et de a.
Soit I l'ensemble des points M du plan tels que MB²+MC²-MA²= h. Calculer h pour que [i]soit le cercle de centre G passant par B.

La je n'ai aucune idee , il faut calculer GB²+GC²-GA² grace aux distances de l'enonce peut etre.

4] G etant le point defini a la deuxieme question, montrer que quel que soit M dans le plan [ et ce sont des vecteurs] MB+MC-2MA=AG. En deduire l'ensemble des points M du plan tels que MB²+MC²-MA=32a².

Merci d'avance.

re : Exercice sur les barycentres.

Posté le 18-08-08 à 11:59

Posté par cailloux

Bonjour,

3)
$MB^2+MC^2-MA^2= (\vec{MG}+\vec{GB})^2+(\vec{MG}+\vec{GC})^2-(\vec{MG}+\vec{GA})^2=\vec{MG}^2+2\vec{MG}.\underbrace{(\vec{GB}+\vec{GC}-\vec{GA})}_{\vec{0}}+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2-\vec{GA}^2$

$MB^2+MC^2-MA^2=GM^2+GB^2+GC^2-GA^2=GM^2+16a^2+16a^2-60a^2$

$MB^2+MC^2-MA^2=GM^2-28a^2$

Le lieu des points $M$ est donc telque: $GM^2-28a^2=h$

c' est à dire le cercle de centre $G$ et de rayon $\sqrt{28a^2+h}$ si $h>-28a^2$

Pour que $B$ appartienne à ce cercle, il faut que $GB^2-28a^2=h$

Soit $h=-12a^2$

Pour la 4) es-tu sur de ton énoncé ? : $MB^2+MC^2-MA=32a^2$ ?

$\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MA}= \vec{MB}+\vec{MC}-\vec{MA}-\vec{MA}=\vec{MG}-\vec{MA}=\vec{AG}$

re : Exercice sur les barycentres.

Posté le 18-08-08 à 12:05

Posté par valentin0108

Merci beaucoup , tu as bien corrige pour la question 4 , pour la 3 j'y etais presque mais j'avais manque le GB + GC - GA = 0 .

re : Exercice sur les barycentres.

Posté le 18-08-08 à 12:09

Posté par valentin0108

Mais ca ne serait pas -30a2 et pas -60a2 ?

re : Exercice sur les barycentres.

Posté le 18-08-08 à 12:17

Posté par cailloux

$GA^2=(2IA)^2=4IA^2=60a^2$ non ?

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