Equation trigonometrique

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Equation trigonometrique

Posté le 20-08-08 à 12:46

Posté par valentin0108

Bonjour il y a deux equations que je n'arrive pas a resoudre,

sinx + sin2x + sin3x = 1 +cosx + cos2x et sin2x=sin²x

Merci d'avance car ce sont les seules qui me derange/

re : Equation trigonometrique

Posté le 20-08-08 à 13:14

Posté par cailloux

Bonjour,

Pour la première, on utilise:

$\sin\,2x=2\,\sin\,x\,\cos\,x$

$\sin\,3x=3\,\sin\,x-4\sin^3x$

$\cos\,2x=2\,cos^2x-1$

Pour obtenir (après factorisation):

$\cos\,x\left(2\,\sin\,x-1\right)\left(2\,\cos\,x+1\right)=0$

que l' on résout sans problème.

Pour la seconde utilise $\sin\,2x=2\,\sin\,x\,\cos\,x$

re : Equation trigonometrique

Posté le 20-08-08 à 13:25

Posté par valentin0108

Pour la deuxieme j'arrive a 2cosx=sinx et je fais quoi apres

Equation trigonometrique

Posté le 20-08-08 à 13:30

Posté par raymond

Bonjour.

1°)

Tu connais la formule sin(p) + sin(q) = 2sin( $2$\textrm\fra{p+q}{2}$ )cos( $2$\textrm\fra{p-q}{2}$ )

cela te donne sin(x) + sin(3x) = 2sin(2x)cos(x)

Ainsi la partie gauche donne : sin(2x) + 2sin(2x)cos(x) = sin(2x)(1 + 2cos(x))

A droite tu as 1 + cos(2x) = 2cos²(x), donc, cela donne à droite : 2cos²(x) + cos(x)

Ensuite tu passes tout à gauche en mettant cos(x) en facteur :

cos(x)[2sin(x)(1+2cos(x)) - (1+2cos(x))] = 0

cos(x)(2sin(x) - 1)(1 + 2cos(x)) = 0

2°)

Ecris que sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

re : Equation trigonometrique

Posté le 20-08-08 à 13:39

Posté par cailloux

Tu as fait une simplification abusive (tu perds des solutions):

$2\,\sin\,x\,\cos\,x-\,sin^2x=0$

$\sin\,x(2\,\cos\,x-\sin\,x)=0$

$\cos\,x=0$ n' est pas solution.

$sin\,x\,\cos\,x(2-\tan\,x)=0$

soit $\{sin\,x=0\\\text{ou}\\\tan\,x=2$

$\{x=k\pi\\\text{ou}\\x=\alpha+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ et $\alpha\in [0,\frac{\pi}{2}]$ tel que $\tan\,\alpha=2$

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