serie de fonctions (suite)

Posté par freddou06 freddou06

salut!! je commence les series de fonction et je suis bloque sur un exo:

la série de fonctions ()
converge simplement vers f sur R tel que:

f(x) = 0 si x = 0 et 1 + x² sinon

on me demande de montrer que la convergence est normale sur ]-00 , a] ou [a,+00[ , a>0...

je ne voit pas coment faire?!
merci de votre aide!!

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Eh bien reviens simplement à la définition de la convergence normale!

Posté par otto otto

Bonjour,
tu as une série géométrique, de plus ta fonction est paire, il suffit de se limiter à x>0.

Ensuite c'est trivial.

Posté par freddou06 freddou06

ben la definition c'est que la serie de fonction (f_n(x)) converge normalement ssi:

on a la serie numerique (sup|f_n(x)|) qui converge..
mais je ne voit pas comment je peut le montrer

Posté par freddou06 freddou06

quelqu un aurait il une piste?!

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir

En général, on considère |fn(x)|. On cherche son max, et pour cela, on dérive fn(x).

Là ou la dérivée s'annule, on calcule la valeur du  max, qui ne dépend plus que de n, et on voit ce que donne la somme de ces valeurs.

Sauf erreur, le max est obtenu pour

Sauf erreur

A toi de jouer...

Posté par freddou06 freddou06

la serie de fonction (fn(x)) avec f_n(x) = converge normalement ssi:

on a la serie numerique (sup|fn(x)|) qui converge..

jcommence par calculer la dérivée de f_n(x):
pour n = 0 on a :
f₀(x) = x² d'ou f'₀(x) = 2x et sup |f₀(x)| sur ]-00 , a] = sup |f₀(x)| sur [a, +00[ = +00..
pour n = 1 on a :
f₁(x) = d'ou f'₁(x) =



avec f₁(0) = 0 et lim f₁(x) en +00 et - 00 = 1 donc a > 0 on a sup |f₁(x)| sur ]-00 , a] = sup |f₁(x)| sur [a, +00[ = 1

pour n 2 on pose :

f'_n(x) =
et donc on obtient :



avec f_n(0) = lim f_n(x) quand x tend vers + et - 00 = 0
donc d'apres le tableau on en deduit que sup |f_n(x)| = f_n() pour n 2..

une fois arrivé la que dois je faire?!
merci

Posté par Arkhnor Arkhnor

Salut.

Pour n suffisamment grand, on a , donc, le sup sur , c'est .

Posté par freddou06 freddou06

oui je crois avoir oublier de preciser que sup |f_n(x)| = f_n() pour n2 et pour l'intervalle ]-00 , a] avec a > 0..

comment en deduire que la serie de terme general sup|f_n(x)| converge sur ]-00 , a]?!

Posté par Arkhnor Arkhnor

Je ne comprend pas ta remarque.
Comme l'as dit otto, ta fonction est paire, tu peux te contenter de l'étude sur [a;+

Ensuite, comme je t'ai dit, passé un certain rang, le sup de fn, c'est fn(a).

Posté par freddou06 freddou06

oui la fonction est paire mais ma question de depart sur lexo etait
montrer que la convergence est normale sur ]-00,a] et [a , +00[

pour le premier intervalle a>0 , le sup sur cet intervalle est f_n() est non f_n(a), non?!

Posté par Arkhnor Arkhnor

Regarde ce qui se passe pour n suffisamment grand

n'appartient plus au domaine que tu étudies.

Posté par freddou06 freddou06

oui je suis d'accord je dirait donc que le sup est f_n(-) pour tout n 2 sur lintervalle ]-00 , a], a > 0..

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour

Arkhnor est déconnecté, je me permets de prendre la suite:

Non: la fonction fn est décroissante sur [, donc sur un intervalle "qui s'élargit sur la gauche".

Comme le dit Arkhnor, pour n assez grand, devient plus petit que a, donc sur l'intervalle [a;+oo[ la fonction fn est donc décroissante. Donc sur cet intervalle, le sup de |fn| est atteint en a: c'est |fn(a)|.

Et ne te préoccupe pas des x négatifs: la parité te dit que ça se passe pareil pour eux.

Posté par freddou06 freddou06

je comprend pas pourquoi la parité est importante dans la notion de convergence normal...
pour moi il faut traiter dans un premier temps le cas  sur ]-00 , a] puis le cas [a, +00[ puisque le sup est different sur les 2 intervalles...

Posté par jeanseb jeanseb



Non! Si tu remplaces x par (-x), tu trouves la même valeur pour fn(x). Donc les valeurs prises par la fonction sont exactement les mêmes sur ]-oo;0] et [0;}oo[. Donc le sup sur un des 2 intervalles est le sup sur les deux.

Non?

Posté par freddou06 freddou06

ouai je suis entierement d'accord avec toi pour ces deux intervalle mais dans mon exercice les intervalles sont ]-00 , a] et [a , +00[ avec a > 0
donc la parité ne sert pas vraiment ici non?

Posté par Arkhnor Arkhnor

A mon avis, le premier intervalle est .

De toute manière, il n'y a pas CVN sur , à cause de la discontinuité en 0.

Posté par freddou06 freddou06

f_n(x) n'est pas discontinue en 0 puisqu on a f_n(0) = 0 et lim f_n(x) quand x 0+ et 0- tend egalement vers 0.
Apres il est possible que tu est raison il y a peut etre une erreur d'enoncé.. jpense que je vais passer a un autre exercice

Posté par Arkhnor Arkhnor

Justement, n'est pas discontinue en 0, alors que la somme de ta série est discontinue en 0.

Tu peux quand même étudier la CVN sur l'intervalle

Posté par freddou06 freddou06

ok merci a toi pour ton aide je vais reprendre depuis le debut tranquillement

Posté par freddou06 freddou06

Voici mon enoncé:

1ere question:


Ici on ne precise pas si n 0 ou n 1 donc comme f₀(x) est definis sur (= x²) on fait avec n 0 mais ca va me poser probleme dans la seconde question...

reponse : si n 0 , on trouve que la serie converge simplement vers f(x) = 0 si x = 0 et f(x) = 1 + x² sinon.
          si n 1 , on trouve que la serie converge simplement vers f(x) = 0 si x = 0 et f(x) = 1 sinon...

2eme question:


je continue avec n 0
je traite l'intervalle [a , +00[

la convergence est normal sur [a , +00[ ssi on a la serie
( sup |(f_n(x))|) qui converge c'est a dire si on a :

sup |f_n(x)| = L
avec L ,

on a vu que a partir d'un certain rang n₀ on avait pour n n₀ sup |f_n(x)| = f_n(a) =

donc sup |f_n(x)| = L' car on peut se ramener a une serie geometrique de rapport < 1..

ainsi sup |f_n(x)| = sup |f₀(x)| + f₁() + ... + f_{(n0 - 1)}() + L' = +00 car sup |f(x)| = + 00 donc on ne peut conclure que la convergence est normal sur [a , +00[ a cause du cas n = 0..
c'est la que je bloque merci

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour

Pour n=0, la série n'est convergente nulle part. Donc c'est n1 qu'il faut considérer.

Posté par madiop3 madiop3

la serie somme x*2/(1+x*2)*n satisfait au critere de Leibniz car le terme general peut se decomposer en 1/(1+x*2)*n-1 -1/(1+x*2)*n donc cest une serie a terme alternés et tendant vers 0 et en plus 1/(1+x*2)*n-1 est superieur à 1/(1+x*2)*n
Donc dapres ce ctritere la serie Sn converge

Posté par Arkhnor Arkhnor


Je ne comprends pas. Commencer au rang ne modifie pas la convergence simple, on rajoute juste le terme à la somme.

Sinon, je n'avais pas remarqué que n'était pas borné sur . Il faut donc commencer au rang .

freddou06> Fais attention à ce que tu écris, dans ta dernière ligne de calcul, tu fais intervenir l'indice , alors qu'il n'est pas défini, et de plus, le sup de est atteint en .