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premièrebarycentre

#msg1955544 Posté le 21-08-08 à 17:45
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Bonjour

J'ai un exercice à faire et j'aimerai que vous me corrigiez et m'aidiez pour la fin.

Dans le plan, on considère un triangle ABC isocèle en A , de hauteur [AH] telle que AH = BC = 4.

1°) En justifiant, placer le point G barycentre du système de points pondérés {(A;2) ; (B;1) ; (C;1)}.

Ma réponse : Pour tout point M, d'après la relation fondamentale, on a :
2\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (2+1+1) \vec{MG} = 4\vec{MG}
d'où \vec{MG} = \frac{2}{4} \vec{MA} + \frac{1}{4} \vec{MB} + \frac{1}{4} \vec{MC}
donc \vec{MG} = \frac{1}{4} \vec{MB} + \frac{1}{4}\vec{MC}

En particulier pour M = A, on a : \vec{AG} = -\frac{3}{4} \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{AC}

2°) Déterminer et construire l'ensemble E_1 des points M du plan tels que :
||2\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}|| = 2||\vec{MB}+ \vec{MC}||.

Ma réponse : Comme 1-1 = 0, le vecteur \vec{MA}- \vec{MB} est un vecteur constant : \vec{MB}-\vec{MC} = \vec{CB}
On a : ||2\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}|| = 2||\vec{MB}+ \vec{MC}||.
= ||2\vec{MG}||= 2\vec{CB}
\Longleftrightarrow GM = CB

L'ensemble E_1 est donc le cercle de centre G et de rayon CB.

3°) On désigne par M un point quelconque du plan. On pose \vec{V} = 2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}

a. Montrer que \vec{V} = 2\vec{HA}

Ma réponse : 2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC} = 2\vec{MA}-\vec{CB} = 2\vec{MH}+2\vec{HA}-\vec{CB} = \vec{2HA}

b. Déterminer et construire l'ensemble E_2 des points M tels que : ||2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|| = ||\vec{V}|| .

Ma réponse : ||\vec{2MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|| = ||\vec{2MA}-{MB}-\vec{MC}||
\vec{V} = \vec{2HA}
Donc ||\vec{2MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|| = 2\vec{HA}

L'ensemble E_2 est donc le cercle de centre H et de rayon 2 HA (je crois que c'est faux mais bon^^)

4°) Soit E_3 l'ensemble des points M du plan tels que \vec{MA}.\vec{MH} = 5

a. Le point B appartient-ils à E_3 ?
b. Déterminer et construire l'ensemble E_3.

5°) Déterminer et construire l'ensemble E_4 des points M du plan tels que MB²+MC² = 40.

Merci d'avance pour votre aide
re : barycentre#msg1955589 Posté le 21-08-08 à 18:06
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

1) Je suis d'accord jusque \vec{MG}=\frac1{2}\vec{MA}+\frac1{4}\vec{MB}+\frac1{4}\vec{MC}.

Après si on prend M=A, \vec{AA}=\vec0 donc \red\fbox{\vec{AG}=\frac1{4}\vec{AB}+\frac1{4}\vec{AC}}.
barycentre#msg1955592 Posté le 21-08-08 à 18:08
Posté par Profilfanmaths fanmaths

euh oui j'avais pas vu mon erreur merci
Et pour la suite ?
re : barycentre#msg1955602 Posté le 21-08-08 à 18:14
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

2) Je n'ai pas compris ton raisonnement
||2\vec{MG}+\vec{MB}+\vec{MC}||=2||\vec{MB}+\vec{MC}||

\Leftrightarrow 4||\vec{MG}||=4||\vec{MH}||.

Pourquoi \vec{MH} ? Parceque, H est l'isobarycentre du système {(B,1);(C,1)} car on est dans un triangle isocèle. Donc \vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MH}.

Je reprends : 4||\vec{MG}||=4||\vec{MH}||.

D'où : \red\fbox{MG=MH}. L'ensemble E1 est donc la médiatrice de [GH].

Sauf erreur, je vais vérifier
re : barycentre#msg1955622 Posté le 21-08-08 à 18:22
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Ok c'est juste.

Pour le 3), dire que -\vec{MB}-\vec{MC}=-\vec{CB} est faux
re : barycentre#msg1955636 Posté le 21-08-08 à 18:28
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

3) \vec{v}=2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}

On introduit le point H dans l'égalité vectorielle : \vec{v}=2\vec{MH}+2\vec{HA}-\vec{MH}-\vec{HB}-\vec{MH}-\vec{HC}

\Leftrightarrow \vec{v}=2\vec{HA}-\vec{HB}-\vec{HC}=2\vec{HA}-(\vec{HB}+\vec{HC}).

Or H est l'isobarycentre du système {(B,1);(C,1)}, donc \vec{HB}+\vec{HC}=\vec0.

On en déduit donc que: \red\fbox{\vec{v}=2\vec{HA}}.

Tu me dis si tu ne comprends pas quelque chose
re : barycentre#msg1955642 Posté le 21-08-08 à 18:31
Posté par Profilfanmaths fanmaths

C'était trop beau pour que ce soit aussi simple mais du coup je vois pas comment faire
re : barycentre#msg1955643 Posté le 21-08-08 à 18:33
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

3b)||2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}||=||\vec{v}||

On a : 2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=4\vec{MG} et \vec{v}=2\vec{HA}.

D'où : 4||\vec{MG}||=2||\vec{HA}|| \Leftrightarrow\red\fbox{MG=\frac1{2}HA}.

L'ensemble E2 est donc le cercle de centre G et de rayon \frac{AH}{2}.
re : barycentre#msg1955645 Posté le 21-08-08 à 18:33
Posté par Profilfanmaths fanmaths

je n'avais pas vu ton message d'avant
J'ai tout compris (pour cette partie là) en fait il fallait juste introduire H et changer l'ordre pour trouver ok. ^^
re : barycentre#msg1955647 Posté le 21-08-08 à 18:34
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Je te laisse digérer tout ça tu me dis quand c'est bon

Essaye un peu de faire la question  4 pour voir
re : barycentre#msg1955694 Posté le 21-08-08 à 18:57
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Pour ce que tu m'as expliqué j'ai compris (et même bien digéré:lol
re : barycentre#msg1955696 Posté le 21-08-08 à 18:58
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

ok La suite tu as trouvé ou pas ? Calcule donc le produit scalaire \vec{AB}.\vec{BH}
re : barycentre#msg1955700 Posté le 21-08-08 à 19:00
Posté par Profilfanmaths fanmaths

J'ai beau réfléchir pour la question 4 je ne vois pas comment faire
re : barycentre#msg1955704 Posté le 21-08-08 à 19:02
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Calcule ce que je t'ai donné : \vec{AB}.\vec{BH}=AB\times BH\times cos(\vec{AB};\vec{AH}).

Pour trouve le cosinus aide-toi d'une figure :
re : barycentre#msg1955716 Posté le 21-08-08 à 19:06
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Si je ne me suis pas trompé ça donne :
\vec{AB}.\vec{BH} = \frac{9}{2}*2 = 9
Est-ce que c'est ça ?
re : barycentre#msg1955717 Posté le 21-08-08 à 19:06
Posté par Profilfanmaths fanmaths

je n'ai rien écris je recommence
re : barycentre#msg1955723 Posté le 21-08-08 à 19:09
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

J'ai fait une faute de frappe : \vec{AB}.\vec{BH}=AB\times BH\times cos(\vec{AB};\vec{BH})
re : barycentre#msg1955725 Posté le 21-08-08 à 19:11
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Rho décidémment j'ai carrément mal lu l'énoncé

Ce qu'il faut calculer c'est : \red\fbox{\vec{BA}.\vec{BH}=BA\times BH\times cos(\vec{BA};\vec{BH})}
re : barycentre#msg1955727 Posté le 21-08-08 à 19:12
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Est-ce que c'est cos 60 ? (je ferai le calcule après si c'est bon )
re : barycentre#msg1955747 Posté le 21-08-08 à 19:17
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Non, vu que le triangle n'est pas équilatéral

Il faut d'abord que tu calcules AB grâce à la propriété de Pythagore dans le triangle (AHB)
Puis tu détermines cos(\vec{BA};\vec{BH})=\frac{BH}{AB}.

Enfin tu calcules le produit scalaire et tu en déduis si le point B appartient à l'ensemble ou non
re : barycentre#msg1955758 Posté le 21-08-08 à 19:23
Posté par Profilfanmaths fanmaths

J'ai calculé AB et je trouve \sqrt{20}
donc cos(\vec{BA} ; \vec{BH}) = BH/AB
= 2/(\sqrt20)
mais je trouve un résultat bizarre
re : barycentre#msg1955767 Posté le 21-08-08 à 19:26
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Non c'est ça, sauf que \sqrt{20}=2\sqrt{5} ce qui permet de simplifier

Quel est le résultat du produit scalaire alors ?
re : barycentre#msg1955779 Posté le 21-08-08 à 19:32
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Alors vu mon résultat ça doit être ça
Donc : \vec{BA}.\vec{BH} = BA*BH*cos(\vec{BA};\vec{BH})
= \sqrt{20}*2*\sqrt{5} = 20
re : barycentre#msg1955792 Posté le 21-08-08 à 19:40
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

On a AB=2\sqrt5, BH=2 cos(\vec{BA};\vec{BH})=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{\sqrt{5}}{5}.

Donc \vec{BA}.\vec{BH}=2\sqrt5\times 2\times \frac{\sqrt{5}}{5}=4

Le point B n'appartient pas à l'ensemble E3.

Tu as compris ?
re : barycentre#msg1955800 Posté le 21-08-08 à 19:47
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Oui j'ai compris, je regardais la question 5 quand j'ai vu mon résultat désolée.
Pour la b. on fait comment ?
re : barycentre#msg1955878 Posté le 21-08-08 à 21:08
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Re (j'étais parti manger),

J'appelle I le milieu de [AH]
\vec{MA}.\vec{MH}=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}+\vec{IH})=MI^2+\vec{MI}.(\vec{IA}+\vec{IH})+\vec{IA}.\vec{IH}

Or \vec{IA}+\vec{IH}=\vec0 car I milieu de [AH].

De plus \vec{IA}.\vec{IH}=-\frac{AH^2}{4}=-4.

Donc \vec{MA}.\vec{MH}=5 \Leftrightarrow MI^2-4=5 \Rightarrow MI=3

L'ensemble E3 est donc le cercle de centre I=m[AH] et de rayon 3.

C'est bon pour cette question ?
re : barycentre#msg1955890 Posté le 21-08-08 à 21:15
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Re (j'étais également partie manger)
Oui je vois ce que tu as fait merci
Plus que la question 5 maintenant ^^
re : barycentre#msg1955895 Posté le 21-08-08 à 21:16
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

Je te laisse chercher au moins cette question.

Va voir vers le bas de cette page pour te guider, et propose moi ce que tu as fait :
re : barycentre#msg1955951 Posté le 21-08-08 à 21:58
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Alors voilà ce que j'ai trouvé :

\vec{MB}²+\vec{MC}² = 40
J milieu de [BC]
\Longleftrightarrow(\vec{MJ}+\vec{JB})^2+(\vec{MJ} + \vec{JC})^2 = 40
\Longleftrightarrow 2\vec{MJ}^2+2\vec{MJ}.(\vec{JB}+\vec{JC})+ {JB}^2+{JC}^2=40(\vec{JB}+\vec{JC}=\vec{o})
\Longleftrightarrow2\vec{MJ}^2 + \vec{JB} + \vec{JC} = 40
\Longleftrightarrow2\vec{MJ}^2 = 40-JB^2-JC^2
40-JB^2-JC^2>0 donc MJ = \sqrt{\frac{40-JB^2-JC^2}{2} = 4

L'ensemble des points M représente le cercle de centre J et de diamètre 4

(désolée j'ai été longue mais j'ai encore un peu de mal avec le latex^^)
re : barycentre#msg1955952 Posté le 21-08-08 à 21:59
Posté par Profilfanmaths fanmaths

les [?] ce sont les ²
re : barycentre#msg1955978 Posté le 21-08-08 à 22:18
Posté par ProfilPloufPlouf06 PloufPlouf06

C'est parfait

Tu vois, c'est plus facile qu'on ne le croit finalement

Bon puisque je ne sers plus a rien je te laisse ici, sauf si tu as encore des questions évidemment

Bonne soirée !
re : barycentre#msg1955992 Posté le 21-08-08 à 22:35
Posté par Profilfanmaths fanmaths

Non je n'ai plus de question merci infiniment j'adore les maths
Bonne soirée à toi aussi

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