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Tribu / Algèbre de Boole
Bonsoir,
petit blocage sur cet exercice :
Soit un ensemble infini.
On considère la famille des parties de qui soit sont finies, soit sont de complémentaire fini dans
.
Est-ce une algèbre de Boole ? Une tribu ?
Donc si j'ai bien compris, on se demande si l'ensemble est une algèbre de Boole ou une tribu.
Par fini je suppose que l'on entend de cardinal fini.
Ma question bête, est-ce que est fini ?!
C'est quoi la définition d'être fini ?
Un ensemble est fini ss'il n'est pas infini.
Un ensemble est infini ssi ?
Bonjour otto,
on dit qu'un ensemble est infini s'il existe
et une injection de
dans
.
On montre alors qu'un ensemble est infini ssi il existe une injection de dans cet ensemble.
Re.
Mais comme il n'existe pas de , on en déduit que
est fini. Dans mon cours c'était aussi présenté comme une convention.
Bonjour H_aldnoer
Soit un ensemble infini. On considère la famille des parties de qui soit sont finies, soit sont de complémentaire fini dans . Est-ce une algèbre de Boole ? Une tribu ?
Il est sûr que ça ne peut pas être une tribu car si A est un élément de la tribu, son complémentaire en est un aussi. Comme ton ensemble E est infini, un même ensemble A et son complémentaire ne peuvent pas être simultanément fini.
Je ne connais pas bien la structure d'algèbre de Boole, mais, si j'ai bien compris ce qu'on en dit dans la page
, il semblerait, que dotée des opérations réunion et intersection, un élément est dans l'algèbre si, et seulement si, son complémentaire y est aussi. Dans ce cas, on peut aussi donner une réponse négative pour l'algèbre de Boole.Il est sûr que ça ne peut pas être une tribu car si A est un élément de la tribu, son complémentaire en est un aussi. Comme ton ensemble E est infini, un même ensemble A et son complémentaire ne peuvent pas être simultanément fini.
Si
Si
Donc pas de problème pour la stabilité par complémentarité.
oui, bien sûr, suis-je bête! Pour qu'un ensemble A soit dans la famille, il suffit que A ou son complémentaire soit fini. En revanche, si (Ai) est une famille dénombrable de parties de E, il se peut que ni sa réunion ni le complémentaire de sa réunion ne soit fini.
Par exemple, pour E=N, on considère Ai le singleton contenant pour seul élément 2i, alors la réunion de cette famille est l'ensemble des nombres pairs et son complémentaire, l'ensemble des nombres impairs. Donc cette famille n'est pas une tribu.
Je suis d'accord. On a la stabilité par réunion finie et pas la stabilité par réunion dénombrable, donc c'est une algèbre de Boole et pas une tribu.
Pour que ce soit une tribu il faudrait remplacer dans la définition de cette famille le terme "fini" par "dénombrable".
Rebonjour romu, ok pour la convention.
Je saisi mieux ainsi.
Il reste deux points à vérifier.
Je nomme .
Soit .
Je ne vois pas pourquoi est aussi fini ?
Cela voudrait dire qu'il existe et une injection de
dans
, sachant que
est fini i.e. il existe
et une injection de
dans
.
Non H_aldnoer, pour que B
T, il n'est pas nécessaire que le complémentaire de B soit fini; il suffit que B le soit.
D'ailleurs, si B est fini, son complémentaire est nécessairement infini puisque E est infini.
Soit et soit
.
Si est fini ainsi que
, je suppose que
est aussi fini par intuition.
Mais je ne saurais le démontrer proprement (i.e. avec la définition) !
Il existe et une injection de
dans
. De même, il existe
et une injection de
dans
.
Partant, je ne vois pas comment prouver qu'il existe et une injection de
dans
.
Si ce serait le cas, alors A_1\cup A_2 ne serait infini étant donné ta définition du 24/08/2008 à 15:20.
Bonsoir romu, j'ai pas bien saisi ce que as voulu me dire.
Mais voici ce que je voudrais montrer :
si et
sont fini alors
est fini.
Si est vide, c'est immédiat, sinon on raisonne par l'absurde. On note
les éléments de
.
On suppose que est infini, alors on a une injection de
dans
,
puis en réitérant suffisamment on a une injection de dans
, donc
est infini ce qui est impossible.
Je n'ai pas bien saisi le processus. Lorsque tu dis "en réitérant le processus", je ne vois pas ce que l'on fait exactement.
Aussi, je voulais savoir si on a bien ?
non pas forcément si et
on des éléments en commun.
En réitérant le processus, on établité l'existence des injections:
vu qu'on a retiré tous les éléments de
, et en composant toutes ces injections,
on obtient une injection de dans
, et comme on a supposé
infini,
doit l'être aussi, d'où la contradiction.
Je vois bien l'injection de dans
et cela tient de ce que
est infini.
En revanche, je n'arrive pas à saisir l'injection de dans
.
Cela tient du fait que est infini.
En utilisant le résultat que tu as dut avoir montré dans ton post du 24/08/2008 à 15:20,
on peut par hypothèse injecter dans
, donc on peut injecter
dans
,
et comme est équipotent à
,
est infini.
Mais pour est-ce que est-il infini ?
Aussi, je ne vois pas comment affirmer qu'il existe alors une injection de dans
!
Par hypothèse il existe une injection .
Si admet un antécédent
par
(et donc un seul du fait que
est injective), la restriction de
sur
est injective et à valeurs dans
, et il est clair que
et
sont en bijection.
si n'est pas dans dans
, il est immédiat que la restriction de
sur
est aussi injective (on restreint une injection).
Bonjour à tous
on peut aussi utiliser comme définition d'un ensemble fini, la définition qu'on avait en terminal : un ensemble A est fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel non nul n tel que A et l'ensemble des entiers naturels x vérifiant 1
xn soit équipotent (c'est-à-dire qu'il existe une bijection du premier dans le second)
Ce nombre n est alors appelé le cardinal de A.
On démontre rapidemment, je veux dire directement, sans raisonnement par l'absurde, que deux ensembles finis de même cardinal sont équipotents (et réciproquement), que la réunion de 2 (ou d'un nombre fini) d'ensembles finis est fini, qu'un produit cartésien de 2 ensembles finis (ou d'un nombre fini) d'ensembles finis est fini.
Ok.
Tu as dit plut haut :
Pour que ce soit une tribu il faudrait remplacer dans la définition de cette famille le terme "fini" par "dénombrable".
Donc on peut montrer que
i)
ii) si
iii) on se donne
si
sinon (i.e.
Mais la j'arrive pas à poursuivre :
oui mais ici c'est plutôt l'intersection d'une famille d'éléments qu'il s'agit.
L'intersection des c'est par définition l'ensemble
.
Bonjour romu,
Si j'ai bien compris, tu dis qu'un ensemble est dénombrable quand il est "strictement" dénombrable (c'est-à-dire équipotent à 
) ou fini.
Sans revenir sur les différentes définitions de la dénombrabilité (voir par exemple Ensemble dénombrable ..., quelqu'un sait-il s'il y a une définition officielle d'un ensemble dénombrable.
Bonjour Fradel,
voici ce que moi j'ai compris :
On se donne un ensemble .
S'il est en bijection avec (on dit alors que
et
sont équipotents et on note
) alors
est dénombrable.
S'il s'injecte dans (on note alors
) alors il est dit au plus dénombrable.
Un ensemble au plus dénombrable est donc dénombrable.
Bonjour à vous,
il y a deux définitions qui sont toutes les deux très utilisées (mais il me semble que la plus large est plus utilisée).
La plus stricte dit qu'un ensemble dénombrable est un ensemble en bijection avec .
Pour un ensemble qui est en bijection avec une partie de , on dit alors qu'elle au plus dénombrable (en particulier les parties dénombrables sont au plus dénombrables, mais le contraire c'est pas toujours vrai).
La plus large (celle de H_aldnoer) dit qu'un ensemble dénombrable est un ensemble en bijection avec une partie de (finie ou infinie),
ce qui correspond à la notion d'"au plus dénombrable" pour la première définition.
En général on comprend quelle définition est utilisée par le contexte, ou par une précision de l'auteur.
Un ensemble est en bijection avec une partie de
, s'il existe une application bijective
.
Cela revient à dire que et
sont équipotents, ou encore que l'application
est injective.
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