Probabilités au poker

Posté par JeanPhi JeanPhi

Bonjour à tous,

Je m'intéresse au poker, rien de très original. Pour maximiser mes chances de gains, je calcule certaines probabilités.
Entre autres, je souhaite calculer la probabilité de n'obtenir que des cartes de hauteur différente (donc pas de paire, brelan ni carré).

Quelques explications :
- le poker se joue avec un jeu de 52 cartes
- chaque joueur reçoit une main de 5 cartes
- une paire est constituée par 2 cartes de même hauteur, par exemple 9 de pique et 9 de coeur
- un brelan, 3 cartes de même hauteur
- un carré, 4 cartes de même hauteur

Le nombre de combinaisons possibles pour un tirage aléatoire de 5 cartes est .

Mon problème se situe dans le dénombrement des cas "5 cartes de hauteur différente".

Mon raisonnement est le suivant :
la 1e carte peut être n'importe laquelle des 52 possibles
la 2e peut être n'importe quelle carte sauf les cartes de même hauteur que la 1e, soit 48 cartes possibles
la 3e peut être n'importe quelle carte sauf les cartes de même hauteur que la 1e et la 2e, soit 44 cartes possibles
la 4e ... 40 cartes possibles
la 5e ... 36 cartes possibles

J'obtiens donc la probalilité :


Il est inutile de terminer le calcul, on sait déjà que c'est faux. Mon raisonnement n'est donc pas correct mais je ne parviens pas à trouver la faille.


Quelqu'un aurait-il une idée ?

Posté par veleda veleda

bonjour,
il me semble qu'il faut diviser ton numérateur par 5!

p(pas de paire)=(52/52)(48/51)(44/50)(40/49)(36/48) non?

Posté par JeanPhi JeanPhi

Certes veleda, mais quel raisonnement permet-il d'aboutir à ce calcul ?

Ma question porte essentiellement sur le raisonnement, le calcul n'en est qu'une conséquence... automatique.

Merci quand même.

Posté par veleda veleda

pour la première carte pas de problème,pour la seconde il reste 51 cartes dont48 n'ayant pas la même hauteur que la première tirée,pour la troisième parmi les 50 cartes restantes il y a 44 cartes ayant une hauteur différente des deux premières,pour la quatrième il reste 49 cartes et il faut en tirer une parmi
les 40 cartes dont la hauteur n'est pas encore sortie et il faut prendre la cinquième carte parmi 36 alors qu'il en reste 48
avec ta méthode tu comptes par exemple (8,D,4,5,R) (D,8,4,5,R) (4,5,8,D,R)....c'est à dire 5!fois les mêmes 5 hauteurs-dans une main il n'y a pas d'ordre-

Posté par JeanPhi JeanPhi

veleda,

Ton raisonnement est plausible. Je le reformule en utilisant les combinaisons :



qui donne un résultat tout à fait réaliste de 50,71%.

Par contre, je ne comprends pas pourquoi n'intervient pas, dans cette formulation, le terme au dénominateur qui représente l'ensemble des possibilités d'un tirage aléatoire de 5 cartes parmi 52.

(une probabilité, c'est bien : "nombre de cas favorables / nombre de cas possibles", non ?)

Bien sûr, à partir de ta formulation, on peut rétablir ce terme en divisant le numérateur et le dénominateur par 5! (ce qui rejoint ta remarque à ce sujet) :



Du coup, le problème est de trouver le raisonnement qui permet d'aboutir à cette formulation du numérateur.
Il y a bien l'argument de dire que ma méhode tient compte de l'ordre des cartes (et que pour cette raison il faut diviser le numérateur par 5!) mais je ne vois pas comment tu peux arriver à cette conclusion.
Autrement dit, je ne vois pas pourquoi le terme tient compte de l'ordre des cartes.


Quoi qu'il en soit, merci pour ces premières réponses.