choix des vecteurs pour la matrice de passage difficile

Posté par sonic_cruiser sonic_cruiser

Salut à tous.Voici mon probleme:
on considère la matrice M suivante:

    2 1 0 0
    0 1 0 1
    0 0 1 0
    0 0-1 1
Il s'agit de trigonaliser cette matrice.Conformement aux procedures standards,je trouve ceci:

Polynome caracteristique: P(X)=(2-X)(1-X)^3
Polynome minimal=(X-2)(x-1)^3

Espace propre associé à la valeur propre 2(E2): ker(M-2I)=Vect(1,0,0,0)
Espace propre associé à la valeur propre 1(E1): ker(M-I)=Vect(1,-1,0,0)
Espace caracteristique associé à la valeur propre 1 : ker((M-I)^3)=Vect((1,0,1,0);(0,1,1,0);(0,0,1,1))
on note (E'1) l'espace caracteristique ci dessus.

Le probleme est le suivant:
Quels vecteurs choisir pour la matrice de passage en sachant qu'elle doit etre inversible, et que le vecteur (1,-1,0,0) de (E1)=(1,0,1,0)-(0,1,1,0)?
De plus,M etant une matrice 4x4,il nous faut 4 vecteurs pour la matrice de passage!
Que faire?
Merci à tous ceux qui me donneront leurs conseils et avis éclairés

Posté par gui_tou gui_tou

Salut sonic_cruiser



Okédac.



Ba non tu viens de trouver une base du sep propre associé à 1 ... tu t'égares

Soit la base canonique de

On a deux vecteurs et que l'on complète par deux vecteurs de pour obtenir une base de

Par exemple, avec et ,   forme une base de .

En nommant M ta matrice, on a

La matrice M dans la base s'écrit donc

La matrice P telle que M = PTP⁻¹ n'est autre que la matrice de passage de la base canonique à la base , P est donc constituée des vecteurs de exprimés dans la base donc

Au final, on a bien avec et (triangulaire supérieure)

Sauf erreur

Posté par sonic_cruiser sonic_cruiser

Merci gui_tou pour ta reponse mais y a un petit truc que je ne comprend pas.Tu sembles avoir utiliser le theoreme de la base incomplete.Pour ça il n'y a pas de probleme.Mais parmi tous les vecteurs qu'on aurait pu choisir pour former une base de R^4 comment tu procèdes pour tomber exactement sur e3 et e4 afin d'avoir une matrice triangulaire superieure?est ce que tu as mené des calculs auparavant?

Posté par gui_tou gui_tou

Pour être honnête oui, j'ai d'abord fait au plus simple en choisissant et mais T n'était pas triangulaire ... Je ne saurais pas l'expliquer

Posté par apaugam apaugam

Bonjour,
c'était une très bonne idée de chercher une base de
Mais cela ne donne pas nécessairement une forme triangulaire comme le montre ton choix.
ce qu'il faut savoir c'est que
donc pour trouver une base où la matrice soit triangulaire on peut commencer par choisir un vecteur de qui ne soit pas dans si il y en a. Sinon on prends dans qui ne soit pas dans . Si il n'y en a pas non plus le sous-espace caractéristique coincident avec le sous espace propre et l'on obtient un bloc diagonal 3x3
revenons a notre matrice

donc
donc et   
Dans la base la matrice devient
c'est la forme de Jordan.
Une base de
ne donne pas nécessairement une forme triangulaire.
par exemple, dans la base
la matrice devient
On peut toutefois trianguler sans jordaniser en bricolant un peu comme gui_tou.

Posté par sonic_cruiser sonic_cruiser

Merci apaugam.Le raisonnement est plus que logique.Je l'ai parfaitement compris.Mais je ne sais pas si c'est moi qui ai oublié mes cours ou pas...mais je trouve en faisant un determinant de chaque vecteur de ker(M-I)^3 avec ceux de la base de ker(M-I)^2 que les trois sont dans la difference de ker(M-I)^3 et ker(M-I)^2.Alors est ce qu'on choisit (1,0,1,0) au hasard ou alors les 3 vecteurs de
ker(M-I)^3 donnent une matrice triangulaire (ou de Jordan) avec le meme raisonnement.
J'espère que tu comprendras ma question

Posté par apaugam apaugam

Effectivement on a une infinité de choix pour le premier vecteur qui soit dans et pas dans
Pour imaginer la situation on peut voir tous les vecteurs qui sont dans l'espace et non dans le plan horizontal . On visualise ainsi l'énormité des choix possibles.Le plan est très "mince" dans .