Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Développement limité

Posté par
jolymily 23-08-08 à 15:17

Bonjour, j'ai un souci sur un développement limité :
Soit la fonction : h(x) = (ln(1+2x) / x)-1  si x0     ou   1 si x=0
Je dois cherhcer le développement limité de la fonction h à l'ordre 1 en 0 ? et je bloque !
Rq : la fonction est définie sur ]-1/2 ; +[
Merci de votre aide.

Posté par
gui_toure : Développement limité 23-08-08 à 15:21

Salut jolymily

Avec 3$h(x)={4$\fr{\ell n(1+2x)-x}{x, il te suffit d'écrire le développement limité de 3$\ell n(1+2x) à l'ordre 2 en 0.

Posté par
jolymilyre : Développement limité 23-08-08 à 16:16

donc ça me donne :
h(x)=(ln(1+2x) -x )/ x
=((h-h²/2)-h) / h
=-h/2

est-ce bien ceci ?
Et pourquoi on passe à l'ordre 2 au lieu de faire le developpement à l'ordre 1 ?

Merci

Posté par
gui_toure : Développement limité 23-08-08 à 16:18

Be careful, ln(1+X) = X-X²/2 mais ici on a X=2x ...

Citation :
Et pourquoi on passe à l'ordre 2 au lieu de faire le developpement à l'ordre 1 ?


Parce qu'en divisant le numérateur par x, on perd un ordre, donc en partant avec de l'ordre 2 on termine avec de l'ordre 1

Posté par
jolymilyre : Développement limité 23-08-08 à 16:53

ah oui
dc on obtient :
ln (1+2x)-x/x = (2h-(2h)²/2)-h/h
= h(1-2h)/h
=1-2h
???

Et merci pour l'explication du changement d'ordre.

Posté par
gui_toure : Développement limité 23-08-08 à 20:05

Vi c'est presque juste, il ne manquerait pas des o(h²) et o(h) par hasard ?

Posté par
jolymilyre : Développement limité 23-08-08 à 20:53

oui oui tt à fait :
h(1-2h)/h + o(h²) = 1-2h+o(h)

Posté par
gui_toure : Développement limité 23-08-08 à 20:56

Exact

Posté par
jolymilyre : Développement limité 23-08-08 à 22:10

Je dois également (après avoir montré la continuité de la fontion et qu'elle est dérivable en 0 et la valeur de h'(0) ) chercher les variations de la fonction ?

J'ai montré la continuité et la dérivabilité (avec le fait que h admette un DL) mais je n'arrive pas à trouver les variations ?
Et j'ai comme dérivée de h :1/x² * (2x/(1+2x) - ln(1+2x)) mais je ne trouve pas le signe du numérateur ?

Posté par
gui_toure : Développement limité 23-08-08 à 22:20

Pour montrer qu'elle est dérivable en 0, tu peux te servir de l'équivalence

h dérivable en 0 \Leftright h admet un DL en 0 à l'ordre 1

Donc pour montrer que h admet un DL en 0 à l'ordre 1, on forme son taux d'accroissement :

3$ T : x\to{4$\fr{h(x)-h(0)}{x-0}

Soit
4$T(x)=\fr{h(x)-1}{x} \\ T(x)=\fr{\ell n(1+2x)-2x}{x^2}

Et paf même chose qu'avant, sauf qu'il vaut mieux poussé le DL de ln(1+2x) à l'ordre 3

(je trouve 3$T(x)=-2+\fr{16}{3}x+o(x) donc h dérivable en 0 et h'(0)=-2)

Posté par
jolymilyre : Développement limité 23-08-08 à 22:46

oui c'est tout à fait ce que j'ai trouvé mais ma question était la suivante :

Quelles sont les variation de h sur son ensemble de définition ?
Et je ne trouve pas le signe de la dérivée !

Y-at-il une autre méthode que le calcul de la dérivée ? (hormis la calculatrice qui par ailleurs m'indique que la fonction est décroissant sur son ensemble de définition!)

Posté par
gui_toure : Développement limité 23-08-08 à 22:52

Pourquoi tu veux connaître les variations de h ? Oui elle est décroissante et effectivement la dérivée n'est pas facile à étudier ... c'est une question dans l'exo ?

Posté par
jolymilyre : Développement limité 23-08-08 à 23:12

oui c'est une question de l'exo, qui parait simple mais ne l'est pas ...

Posté par
jolymilyre : Développement limité 24-08-08 à 15:03

quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
gui_toure : Développement limité 24-08-08 à 15:24

On est d'accord, 3$h'(x)={4$\fr{2x\ -\ \ell n(1+2x)\ -\ 2x.\ell n(1+2x)}{(1+2x)x^2

Posons 3$g(x)=2x\ -\ \ell n(1+2x)\ -\ 2x.\ell n(1+2x)

Alors on a

3$g'(x)=2\ -\ \fr{2}{1+2x}\ -\ 2.\ell n(1+2x)\ -\ \fr{4x}{1+2x} \\ g'(x)=-2\ell n(1+2x)

¤ g' est positive sur 3$]-\fr12,0[
¤ g' est nulle en 0
¤ g' est négatif sur 3$]0,+\infty[

donc g admet un maximum global en 0, et 3$g(0)=0 donc 3$\fbox{\forall x\in]-\fr12,+\infty[,\;g(x)\le0

Comme 3$(1+2x)x^2\ge0, on a que 3$\fbox{\forall x\in]-\fr12,+\infty[,\;h'(x)\le0

Donc h est décroissante sur son ensemble de définition.

Sauf erreur

Posté par
jolymilyre : Développement limité 24-08-08 à 16:20

Je suis daccord avec toi, je n'avais pas pensé à décomposer la dérivée. Merci beaucoup.

Sinon je trouve + quand x tend vers -1/2
Et je trouve -1 quan x tend vers +
Mais je n'arrive pas à trouver une valeur approchée du point d'annulation de f, pouvez-vous m'aidez ?

et merci encore.

Posté par
gui_toure : Développement limité 24-08-08 à 16:28

De rien, de rien

Euh pour résoudre f(x)=0, on ne peut que faire par valeurs approchées (enfin si il y a une racine exacte, mais elle fait intervenir la fonction Lambert .. )

On peut constater que 3$\{h(1)=\ell n(3)-1>0\\h(1.5)=\ell n(4)-1.5=2\ell n(2)-1.5\approx2\times0.69-1.5<0

donc h s'annule entre 1 et 1.5

à la calculatrice, on a x1=1,256

Posté par
jolymilyre : Développement limité 26-08-08 à 18:15

Re bonjour !
voilà j'ai a nouveau un problème dans la 3èma partie de ce problème !
Première partie : cf précédemment
deuxième partie : étude d'une suite converdeante

troisième partie : étude d'une primitive de h
On a x ]-1/2 ; +[ , H(x) =(de 0 à x) h(t) dt
1/ chercher les variations deH ? j'ai réussit et j'ai trouvé croissante sur ]-1/2 ; 0.26] et décroissante sur [0.26 ; +

Posté par
jolymilyre : Développement limité 26-08-08 à 18:28

oups g me suis trompée de bouton ! dsl, je reprends :
et décroissante sur [0.26;+[

2/ Montrer que l'on a au voisinage de 0 : H(x)équivaut à x ?? Par DL peut-être?

3/ Montrer que H admet - comme limite en + ??

4/Montrer que t]-1/2;-1/4] que :
ln(1+2t)-1/((1+2t))

puis que h(t) 4/((1+2t))-1

??

5/déduire que l'expression H(x)-H(-1/4) est minorée sur l'intervalle ]-1/2;-1/4] ??
6/Montrer que H est prolongeable par continuité à droite de -1/2 et est-elle dérivable à droite en -1/2 ???

Voilà la troisième et dernière partie incompréhensible pour moi !
Merci de votre aide

Posté par
gui_toure : Développement limité 26-08-08 à 21:22

3$\forall x\in D=]-\fr12,+\infty[,\;H(x)=\Bigint_0^xh(t)dt

1) H est 3$C^1 sur D et
3$\forall x\in D=]-\fr12,+\infty[,\;H'(x)=\fr{d}{dx}\[H(x)-H(0)\]=h(x)={4$\fr{\ell n(1+2x)-x}{x

3$\fbox{H'(x)=0\ \Leftright\ x=x_1\approx1,256

¤ H croissante sur 3$]-\fr12,x_1[
¤ H décroissante sur 3$]x_1,+\infty[

Donc tu as juste

2) oui on va faire le DL de H'(x)=h(x), puis l'intégrer.

En 0 :

3$H'(x)=1-2x+o(x)   d'où  3$H(x)=H(0)+x-x^2+o(x^2)=x-x^2+o(x^2)

3$\fr{H(x)}{x}=1-x+o(x)   d'où   3$\lim_{x\to0}\fr{H(x)}{x}=1   donc finalement   3$\fbox{H(x)\ \sim_0\ x

3) Fastoche, encore faut-il le justifier proprement.

3$\lim_{x\to+\infty}\ h(x)=-1 donc il existe un réel 3$\alpha à partir duquel 3$\forall x\ge\alpha,\;h(x)\le\ -\fr12


Donc 3$\forall x\in D,\;\;H(x)=\Bigint_0^{\alpha}h(t)dt\ +\ \Bigint_{\alpha}^xh(t)dt

A partir de l'inégalité ci-dessus, on tire

3$\forall x\ge\alpha,\;\;H(x)\le\Bigint_0^{\alpha}h(t)dt\ +\ \Bigint_{\alpha}^x(-\fr12)dt

3$\forall x\ge\alpha,\;\;H(x)\le\Bigint_0^{\alpha}h(t)dt\ +\ \fr12(\alpha-x)

3$\Bigint_0^{\alpha}h(t)dt étant une constante, on a alors 3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\ H(x)=-\infty


4) Avec des études de fonctions (dérivées et compagnie), ça devrait le faire.

5) je verrai plus tard, mais tu peux y arriver tout seul

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 12:06

Pour les inégalités de la question 4) , n'est-il pas possible de faire simplement en partant d'une inéquation de base pour arriver au résultat attendu ?
Car même en passant par des fonction je n'arrive pas au résultat escompté
Merci

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 13:47

4) Montrons que 3$\forall t\in D'=]-\fr12,-\fr14],\;\;\ell n(1+2t)\ge-\fr{1}{\sqrt{1+2t}}

3$\forall t\in D',\;1+2t>0

On va donc simplement montrer que 3$\forall t>0,\;f(t)=\ell n(t)+\fr{1}{\sqrt{t}}>0

f est dérivable et 3$\forall t>0,\;f'(t)={4$\fr{2\sqrt{t}-1}{2x^2^\sqrt{x

f' s'annule en 1/4 et et négative sur 3$]0,\fr14[, positive sur 3$]\fr14,+\infty[

donc f admet un minimum global en 1/4. 3$f(\fr14)=-2\ell n(2)+2=2(1-\ell n(2))>0  donne que f>0 pour t>0

Donc au final, on a bien 3$\fbox{\forall t\in D'=]-\fr12,-\fr14],\;\;\ell n(1+2t)\ge-\fr{1}{\sqrt{1+2t}}



Soit 3$t\in D'

3$\ell n(1+2t)\ge-\fr{1}{\sqrt{1+2t}

Divisons par 3$t<0

4$\fr{\ell n(1+2t)}{t}\le\fr{-1}{t\sqrt{1+2t}

Or 3$\fr{-1}{t}\le 4 donc

4$\fr{\ell n(1+2t)}{t}\le\fr{4}{\sqrt{1+2t}

En ajoutant -1 aux deux membres de l'inégalité, il vient finalement

4$\fbox{\forall t\in D',\;\;h(t)\le\fr{4}{\sqrt{1+2t}-1



5)  Montrons que H(x)-H(-1/4) est minorée sur D'. Soit 3$x\in D'

3$H(x)-H(\fr14)\ =\ \Bigint_{-\fr14}^xh(t)dt\ =\ -\Bigint_x^{-\fr14}h(t)dt

Or la fonction h est continue est positive sur D', et pour tout 3$t\in D',\;h(t)\le\fr{4}{\sqrt{1+2t}}-1

donc

3$H(x)-H(-\fr14)\ \ge\ -\Bigint_x^{-\fr14}\({4$\fr{4}{\sqrt{1+2t}}-1}\)dt
3$H(x)-H(-\fr14)\ \ge\ -\[4\sqrt{1+2t}-t\]_x^{-1/4}
3$H(x)-H(-\fr14)\ \ge\ 4\sqrt{1+2x}-\fr{x^2^}{2}-2\sqrt2+\fr{1}{32}

Une brève étude de la fonction 3$x\to 4\sqrt{1+2x}-\fr{x^2^}{2}-2\sqrt2+\fr{1}{32} montre qu'elle est croissante sur D'.

Donc 3$\fbox{\forall x\in D',\;\;H(x)-H(-\fr14)\ \ge\ -2\sqrt2-\fr{1}{32

Il faut que je réfléchisse encore pour montrer que H est prolongeable par continuité. Pour info, on peut poser 4$H(0)=\fr12-\fr{\pi^2}{6 ^^

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 15:51

Je ne comprend pas la démarche de la question 5 ?
Et je ne trouve pas le même résultats que vous pour :
H(x)-H(-1/4) > 4(1+2x) -x²/2 -22 + 1/32 ?
De plus je vois pas en quoi m'avance de poser H(0)=1/2-²/6 pour la question 6 ??

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 18:52

Gui_tou peux-tu m'éclaicir ?
Merci

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 19:14

Re !

D'abord en me relisant je vois que j'ai fait pas mal de petites fautes, mea culpa

(question 4, c'est bien sûr 3$\fbox{\forall t\in D',\;\;h(t)\le\fr{4}{\sqrt{1+2t}}-1)


Soit x dans D'

Ba par définition, 3$H(x)-H(-\fr14)\ =\ \Bigint_{-\fr14}^xh(t)dt. Mais 3$x\le-\fr14 donc les bornes de l'intégrale ne sont pas dans l'ordre naturel.

3$H(x)-H(-\fr14)\ =\ -\Bigint_x^{-\fr14}h(t)dt   ici on a bien l'ordre naturel

La quantité 3$\Bigint_x^{-\fr14}h(t)dt est positive. Or sur D', on a 3$h(t)\ \le\ {4$\fr{4}{\sqrt{1+2t}}-1

D'où
3$\Bigint_x^{-\fr14}h(t)dt\ \le\ \Bigint_x^{-\fr14}\({4$\fr{4}{\sqrt{1+2t}}-1\)dt
3$-\Bigint_x^{-\fr14}h(t)dt\ \ge\ 4\sqrt{1+2x}-x-2\sqrt2-\fr14

d'où

3$H(x)-H(-\fr14)\ \ge\ -4\sqrt{1+2x}+x+2\sqrt2+\fr14

Or la fonction 3$f\ :\ ]-1/2,-1/4]\to{\bb R}\\x\to-4\sqrt{1+2x}+x+2\sqrt2+\fr14 admet un minimum global en -1/2, et 3$f(-1/2)=\fr14-2\sqrt2

3$\rm\fbox{Conclusion : Pour x\in]-1/2,-1/4], H(x)-H(-1/4) est minoree par \fr14-2\sqrt2

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 19:21

Citation :
De plus je vois pas en quoi m'avance de poser H(-1/2)=1/2-Pi²/6 pour la question 6 ??


Ah mais j'ai juste dit ça comme ça, j'ai calculé avec Maple H(-1/2), et je trouve que c'est assez zoli comme résultat

Mais tu as raison, ça ne montre pas que H est continue en -1/2! Ca, ça sera à nous de le montrer!

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 19:52

Merci bcp, je comprend tout à fait mieux sans les petites erreurs !
Je blague !
Je vais essayer de continuer à chercher de mon coté pour la suite (sans garantie de résultat^^) .
Merci

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 21:14

il y a une erreur de signe pour f : c'est -1/4 et non +1/4 ?

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 21:18

Euh non il me semble que c'est f(x)=...+1/4

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 21:24

ben pourtant on a :
-[4(1+2t) - t]-1/4 à x
dc -(4(1+2x)-x -(22 - 1/4))
soit -(4(1+2x)-x-22 + 1/4)
dc -4(1+2x)+x+22-1/4
???

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 21:35

3$\Bigint_x^{-1/4}\(\fr{4}{\sqrt{1+2t}}-1\)dt\ =\ \[4\sqrt{1+2t}-t\]_x^{1/4}\ =\ 4\sqrt{1+2x}-x-2\sqrt2+\fr14

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 22:11

oui donc il y avait bien l'erreur de signe !

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 22:11

Du coup ça change tout pour la minoration ! ?

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 22:17

Raaaaa décidément

....


d'où 3$H(x)-H(-\fr14)\ \ge\ 4\sqrt{1+2x}-x-2\sqrt2-\fr14

Or la fonction 3$f\ :\ ]-1/2,-1/4]\to{\bb R}\\x\to-4\sqrt{1+2x}+x+2\sqrt2+\fr14 admet un minimum en -1/2 et 3$f(-1/2)=1/4-2\sqrt2

J'avais re-multiplié par -1 à une étape donc f était faux

désolé ^^

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 22:55

je suis perdue maintenant !
C'est quel f qui est correcte car là tu me réécris l'ancien f que je trouvais faux ???

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 22:59

xD effectivement

le bon f est 3$f\ :\ ]-1/2,-1/4]\to{\bb R}\\x\to4\sqrt{1+2x}-x-2\sqrt2-\fr14

c'est mon dernier mot, jolymily

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 23:04

pour trouver le minimum de f faut faire la dérivée et tout le reste ?
car comme ça je vois pas qu'elle admet un minimum en -1/2 !

Et pour le prolongement par continuité en -1/2 on fait la limite de H ou on fait par Developpement limité ?

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 23:06

Ba la dérivée de f est fastoche, puisque c'est 4/sqrt(1+2x)-1

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 23:08

Pour la continuité en -1/2, un DL n'ira pas. On aura à faire avec du ln(X) avec X->0 et on ne connaît pas de DL de ce bidule.

Mais on ne peut pas calculer H(x) explicitement, on est coincé pour l'instant

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 23:11

sinon je pense qu'elle admet un prolongement par continuité a droite de -1/2 mais qu'elle n'y est pas dérivable .
Mais je sais pas comment prouver ceci !
Est-ce bon ?

Posté par
jolymilyre : Développement limité 27-08-08 à 23:25

ça c'est du problème

Posté par
gui_toure : Développement limité 27-08-08 à 23:27

Pour la dérivabilité :

3$\forall x\inD,\;\;H(x)=\Bigint_0^x\fr{\ell n(1+2t)-t}{t}dt

H est dérivable sur D et H'=h.

Or 3$h(x)={4$\fr{\ell n(1+2x)}{x}-1

Avec 3$\lim_{x\to-\fr12}\,h(x)=+\infty, on déduit que H n'est pas dérivable en -1/2.

Pour la continuité je sèche encore, désolé.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !