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Matrices et applications linéaires

   
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autreMatrices et applications linéaires

#msg1958319 Posté le 24-08-08 à 21:08
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Bonjour,

Merci pour votre aide,

Dans cette partie, E désigne un C-espace vectoriel de dimension 3, muni de la base B = (e1, e2, e3).
On considère l'endomorphisme f de E dont la matrice associée dans la base B est:

A = MatB(f) = \begin{pmatrix} \\ 1&2&2 \\ \\ 1&1&2 \\ \\ -2&-2&-3 \\ \\ \end{pmatrix}

1. Vérifier que la famille C = (e1, f(e1), f2(e1)) est une base de E. Déterminer la matrice de f dans C.

J'ai déjà quelques difficultés sur cette question.

Pour commencer on a bien e1=(1,2,2) et f(e1)=(1,1,-2)?

Ensuite pour calculer f2(e1), j'ai exprimé l'application f et je trouve:

f: (x, y, z) (x+2y+2z, x+y+2z, -2x-2y-3z), est-ce correct? Parce qu'à partir de ceci je suis censée trouver f4(e1)=e1 et je n'y arrive pas...

Merci encore pour vore aide précieuse,

Laura
re : Matrices et applications linéaires#msg1958323 Posté le 24-08-08 à 21:16
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Salut

Pourquoi se fatiguer?

E est de dimension 3 et C a 3 vecteurs, il suffit de montrer par exemple qu'elle est libre.

On ne connait pas e1. Par contre on sait que 3$\rm f(e_{1})=e_{1}+e_{2}-2e_{3}
3$\rm f^{2}(e_{1})=f(e_{1})+f(e_{2})-2f(e_{3})=-e_{1}-2e_{2}+2e_{3}

Conclus.

re : Matrices et applications linéaires#msg1958326 Posté le 24-08-08 à 21:17
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut laurafr13

4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&f(e_1)&f(e_2)&f(e_3)\\\hdash~e_1&1&2&2\\e_2&1&1&2\\e_3&-2&-2&-3\)

On a 3$f(e_1)=e_1+e_2-2e_3

et

3$f^2(e_1)\ =\ f(f(e_1)) \\ f^2(e_1)\ =\ f(e_1+e_2-2e_3) \\ f^2(e_1)\ =\ f(e_1)+f(e_2)-2f(e_3) \\ f^2(e_1)\ =\ e_1+e_2-2e_3\ +\ 2e_1+e_2-2e_3\ -\ 2(2e_1+2e_2-3e_3) \\ f^2(e_1)\ =\ -e_1-2e_2+2e_3

Sauf erreur de calcul, tu dois montrer que la famille 3$(e_1,f(e_1),f^2(e_1)) est une base de E.

Il te suffit de montrer qu'elle est libre
re : Matrices et applications linéaires#msg1958327 Posté le 24-08-08 à 21:18
Posté par Profiltopalg topalg

Salut. Je pense que e1 est le vecteur (1, 0, 0)...
re : Matrices et applications linéaires#msg1958328 Posté le 24-08-08 à 21:18
Posté par Profiltopalg topalg

Bon, j'ai dis n'importe quoi.
re : Matrices et applications linéaires#msg1958330 Posté le 24-08-08 à 21:19
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut Jord et topalg

Citation :
Salut. Je pense que e1 est le vecteur (1, 0, 0)...


C'est probable que ce soit la base canonique, mais on s'en moque, ça marche quel que soit e1 !
re : Matrices et applications linéaires#msg1958339 Posté le 24-08-08 à 21:40
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Merci beaucoup!
re : Matrices et applications linéaires#msg1958398 Posté le 24-08-08 à 23:36
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Pour ma part, je t'en prie laura
Suite de l'exercice#msg1958509 Posté le 25-08-08 à 11:03
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Bonjour,

Merci d'avance pour votre aide précieuse,

J'ai un petit problème pour la suite de l'exercice.

J'ai montré que C est une base de E, j'ai écrit la matrice de f dans C en calculant f3(e1)=-e1+e2.
On me demande ensuite de montrer que f est cyclique d'ordre 4, m'ayant donné la définition d'un endomorphisme cyclique en introduction.

Je prouve donc que f4(e1)=e1, que la famille (e1, f(e1), f2(e1), f3(e1)) est génératrice de E (je trouve qu'elle est égale à Vect((1,1,-1,-1),(0,1,-2,1),(0,-2,2,0))), j'ai aussi explicité que les éléments de cette famille sont deux à deux distincts, cette famille est donc un cycle de f et f est cyclique d'ordre 4.

La question qui me pose problème est la suivante, on me demande de démontrer que f4 est l'application identité, j'ai pensé à faire 4 fois le produit de la matrice A avec elle-même, mais ca ne serait que dans la base B...

Merci encore pour votre aide,

Laura
re : Matrices et applications linéaires#msg1958544 Posté le 25-08-08 à 12:07
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Re !

Citation :
Je prouve donc que la famille (e1, f(e1), f2(e1), f3(e1)) est génératrice de E


Suffit de dire que 3$\rm(e_1,f(e_1),f^2(e_1)) est une base de E, donc génératrice, donc a fortiori 3$\rm(e_1,f(e_1),f^2(e_1),f^3(e_1)) aussi.

Citation :
La question qui me pose problème est la suivante, on me demande de démontrer que f4 est l'application identité, j'ai pensé à faire 4 fois le produit de la matrice A avec elle-même, mais ca ne serait que dans la base B...


Et alors ? ^^

Soit tu t'amuses avec des produits matriciels : 3$\rm A^4=I_3 donc 3$\rm f^4=Id_E

Soit tu montres que les vecteurs d'une base quelconque de E sont invariants.

> on peut alors gagner du temps, en ayant recours à la base 3$\rm(e_1,f(e_1),f^2(e_1)).

En effet, 3$\rm f^4(e_1)=e_1   ,   3$\rm f^4(f(e_1))=f(f^4(e_1))=f(e_1)   ,   3$\rm f^4(f^2(e_1))=f^2(f^4(e_1))=f^2(e_1)

Donc paf, 3$\rm f^4=Id_E
re : Matrices et applications linéaires#msg1958548 Posté le 25-08-08 à 12:10
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Merci beaucoup, j'ai encore un soucis... Oui je sais ca fait beaucoup de soucis pour une seule femme.

La question suivante c'est de montrer qu'il existe une base D=(v1,v2,v3) telle qu

MatD(f)= (-1 0 0
                     0 i 0
                     0 0 i)

Remarque: on choisira la coordonnée des vecteurs v1, v2, v3 égale à 1.

La je ne vois pas du tout la solution.
re : Matrices et applications linéaires#msg1958558 Posté le 25-08-08 à 12:30
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Il faut diagonaliser A dans 3$\rm M_n({\bb C})

4$\rm mat_D(f)=\(\array{3,c.cccBCCC$&f(v_1)&f(v_2)&f(v_3)\\\hdash~v_1&-1&0&0\\v_2&0&i&0\\v_3&0&0&i\)

Donc 3$\rm\{f(v_1)=-v_1\\f(v_2)=i.v_2\\f(v_3)=i.v_3

----------------------

On construit 3$v_1{\|x\\y\\z}_B tel que 3$f(v_1)=-v_1  (B la base canonique de R3)

3$f(v_1)=-v_1\ \Leftright\ \{x+2y+2z=-x\\x+y+2z=-y\\-2x-2y-3z=-z\} \\ f(v_1)=-v_1\ \Leftright\ \{x+y+z=0\\x+2y+2z=0\} \\ f(v_1)=-v_1\ \Leftright\ \{x=0\\y=y\\z=-y

On choisit donc 3$v_1{\|0\\1\\-1}_B

----------------------

On construit 3$v_2{\|x\\y\\z}_B tel que 3$f(v_2)=i.v_2  (B la base canonique de R3)

3$f(v_2)=i.v_2\ \Leftright\ \{x+2y+2z=i.x\\x+y+2z=i.y\\-2x-2y-3z=i.z\} \\ f(v_2)=i.v_2\ \Leftright\ \{x=x\\y=\fr{1+i}{2}x\\z=-x

On choisit donc 3$v_2{\|1\\\fr{1+i}{2}\\-1}_B

----------------------

On construit 3$v_3{\|x\\y\\z}_B tel que 3$f(v_3)=-i.v_3  (B la base canonique de R3)

3$f(v_3)=-i.v_3\ \Leftright\ \{x+2y+2z=i.x\\x+y+2z=i.y\\-2x-2y-3z=i.z\} \\ f(v_3)=-i.v_3\ \Leftright\ \{x=x\\y=\fr{1+i}{2}x\\z=-x

On choisit donc 3$v_3{\|1\\\fr{1-i}{2}\\-1}_B




Donc cette base existe, elle est donnée par les vecteurs  3$v_1{\|0\\1\\-1}_B ,  3$v_2{\|1\\\fr{1+i}{2}\\-1}_B  ,   3$v_3{\|1\\\fr{1-i}{2}\\-1}_B  (bien sûr ces coordonnées sont dans la base canonique)
re : Matrices et applications linéaires#msg1958564 Posté le 25-08-08 à 12:38
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Merci infinimement pour toutes ces réponses. Le devoir n'est pas encore fini et j'aurais surement encore des ennuis avec la suite qui est le cas général. Je continuerai à poster sur ce topic. Merci beaucoup. A bientôt surement.
re : Matrices et applications linéaires#msg1958565 Posté le 25-08-08 à 12:38
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Euh par contre petite question. Pourquoi on a pas 1 en e2 pour toutes les coordonnées?
re : Matrices et applications linéaires#msg1958567 Posté le 25-08-08 à 12:39
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

cf: la remarque
re : Matrices et applications linéaires#msg1958569 Posté le 25-08-08 à 12:39
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

C'est bon j'ai compris. Ca dépend juste du choix qu'on fait.

Merci beaucoup.
re : Matrices et applications linéaires#msg1958577 Posté le 25-08-08 à 12:53
Posté par Profilgui_tou gui_tou

De rien
re : Matrices et applications linéaires#msg1958583 Posté le 25-08-08 à 12:58
Posté par Profilgui_tou gui_tou

D'ailleurs, en notant P la matrice de massage de B vers D, on a

3$\rm P=\(\array{0&1&1\\1&\fr{1+i}{2}&\fr{1-i}{2}\\-1&-1&-1\)  et   3$\rm A=\(\array{2&2&2\\1&1&2\\-2&-2&-3}\)=P.\(\array{-1&0&0\\0&i&0\\0&0&-i}\).P^{-1}
re : Matrices et applications linéaires#msg1958590 Posté le 25-08-08 à 13:19
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Je crois que tu as fais une erreur de signe pour v3
re : Matrices et applications linéaires#msg1958592 Posté le 25-08-08 à 13:25
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Ah oui j'ai mal recopié, mais le résultat est juste !
re : Matrices et applications linéaires#msg1958615 Posté le 25-08-08 à 14:13
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

juste une petite remarque, je crois que P c'est la matrice de passage de D vers B, parce que la formule de changement de base c'est A= P^-1.MatD(f).P
re : Matrices et applications linéaires#msg1958618 Posté le 25-08-08 à 14:16
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Euh non, A=PDP-1
re : Matrices et applications linéaires#msg1958623 Posté le 25-08-08 à 14:20
Posté par Profilgui_tou gui_tou

avec D = MatD(f)
re : Matrices et applications linéaires#msg1958633 Posté le 25-08-08 à 14:27
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Alors, encore un soucis,

voila la partie 2 est le cas général de la partie 1.

E est un C-espace vectoriel de dimension n et f est un endomorphisme de E, cyclique d'ordre p.

Je dois montrer que pn et que fp est l'identité pour en déduire que c'est un automorphisme puis préciser f-1..

La je dois avouer que je suis à nouveau à court d'idée.. récurrence?
re : Matrices et applications linéaires#msg1958645 Posté le 25-08-08 à 14:37
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

au fait tu peux me donner des précisions sur les matrices de passage au dessus, j'avoue m'emmeler un peu les pinceaux avec les bases
re : Matrices et applications linéaires#msg1958656 Posté le 25-08-08 à 14:45
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Soit 3$\rm F=\(\vec{a},f(\vec{a}),...,f^{p-1}(\vec{a})\) un cycle de f .

Une famille génératrice a plus d'éléments que la dimension de l'espace généré. Donc 3$p\ge n

Ensuite on remaque que 3$\rm\forall k\in{\bb N},\;f^p(f^k(\vec{a}))=f^k(\vec{a})

Montrons que 3$\rm f^p=Id_E.

Soit 3$\vec{x}\in E. Puisque 3$\rm F=\(\vec{a},f(\vec{a}),...,f^{p-1}(\vec{a})\) est génératrice, on peut écrire :

3$\vec{x}\ =\ \rm{\lambda_0\vec{a}+\lambda_1f(\vec{a})+...+\lambda_{p-1}f^{p-1}(\vec{a})

On a alors

3$\rm f^p(\vec{x})\ =\ \lambda_0f^p(\vec{a})+\lambda_1f^{p+1}(\vec{a})+...+\lambda_{p-1}f^{2p-1}(\vec{a}) \\ f^p(\vec{x})\ =\ \lambda_0\vec{a}+\lambda_1f(\vec{a})+...+\lambda_{p-1}f^{p-1}(\vec{a}) \\ f^p(\vec{x})\ =\ \vec{x}

Ainsi 3$\rm f^p=Id et 3$\rm f\cir f^{p-1^} = f^{p-1}\cir f = Id donc f est bijective et 3$\rm f^{-1}=f^{p-1

re : Matrices et applications linéaires#msg1958663 Posté le 25-08-08 à 14:51
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Merci infiniment une nouvelle fois, j'ai compris les histoires de matrices de passage.

Je continue dans mes questions parce qu'apparemment j'ai de sacrés problèmes avec ce devoir.

On note m le plus grand des entiers naturels k tels que la famille (x0, f(x0)...fk-1) est libre.

Justifier l'existence de m et montrer que fm(x0) est combinaison linéaire de x0, f(x0)...fm-1.
re : Matrices et applications linéaires#msg1958691 Posté le 25-08-08 à 15:14
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Jte recopie mon cours

3$\rm\blue\fbox{Matrice de passage d'une base a une autre

Soit 3$\rm E un espace vectoriel de dimension finie 3$n.

Soit une base 3$\scr{B}=(e_1,...e_n) de 3$\rm E.
Soit 3$\scr{B'}=(e^'_1,...e^'_n) une nouvelle base de 3$\rm E telle que

3$e^'_1{\|p_{11}\\p_{21}\\\vdots\\p_{n1}}_{\scr B  ,  3$e^'_2{\|p_{12}\\p_{22}\\\vdots\\p_{n2}}_{\scr B  ,  ...  ,  3$e^'_n{\|p_{1n}\\p_{2n}\\\vdots\\p_{nn}}_{\scr B

On pose 3$P=\(\array{p_{11}&p_{12}&\ldots&p{1n}\\p_{21}&p_{22}&\ldots&p{2n}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\p_{n1}&p_{n2}&\ldots&p_{nn}\)

3$\rm P est la matrice de passage de 3$\rm\scr B vers 3$\rm\scr B'

Remarques :

Soit 3$\rm Id_E : E_{\scr B'} \to\ E_{\scr B

3$\rm mat(\scr{B'},\scr{B};Id_E)=P

3$\rm P est inversible et 3$\rm P^{-1} = mat(\scr{B},\scr{B'};Id_E)
3$\rm P^{-1 est la matrice de passage de 3$\rm\scr B' vers 3$\rm\scr B

-------------------------------------------
-------------------------------------------

3$m existe puisque le cardinal d'une famille libre dans un espace de dimension n est inférieur ou égal à 3$n.

La famille 3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ \) est libre.

La famille3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ ,\ f^m(\vec{a})\ \) est liée donc on peut écrire :
3$\lambda_0\vec{a}\ +\ \lambda_1f(\vec{a})\ +\ ...\ +\ \lambda_mf^m(\vec{a})\ =\ 0
avec 3$(\lambda_0,...,\lambda_m)\not=(0,...,0)

Si 3$\lambda_m=0 alors 3$\lambda_0\vec{a}\ +\ \lambda_1f(\vec{a})\ +\ ...\ +\ \lambda_{m-1}f^{m-1}(\vec{a})\ =\ 0 avec 3$(\lambda_0,...,\lambda_{m-1})\not=(0,...,0). C'est impossible car la famille 3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ \) est libre !!

Nécessairement 3$\lambda_m\not=0 et on peut alors écrire 3$f^m(\vec{a})\ =\ -\fr{\lambda_0}{\lambda_m}\vec{a}-\fr{\lambda_1}{\lambda_m}f(\vec{a})-...-\fr{\lambda_{m-1}}{\lambda_m}f^{m-1}(\vec{a})

Donc 3$f^{m}(\vec{a}) est une combinaison linéaire de 3$\(\ \vec{a}\ ,\ f(\vec{a})\ ,...,\ f^{m-1}(\vec{a})\ \)




Ton exo ressemble fortement à celui là :
re : Matrices et applications linéaires#msg1958713 Posté le 25-08-08 à 15:34
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

incroyable!
re : Matrices et applications linéaires#msg1958715 Posté le 25-08-08 à 15:35
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Merci merci
re : Matrices et applications linéaires#msg1958718 Posté le 25-08-08 à 15:37
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

c'est plutôt à moi de te remercier, en particulier pour ta patience, merci beaucoup pour le cours je comprends beacoup mieux maintenant.

Merci encore énormément,

A bientot
re : Matrices et applications linéaires#msg1958719 Posté le 25-08-08 à 15:38
Posté par Profilgui_tou gui_tou

C'était un plaisir ma ptite laura
re : Matrices et applications linéaires#msg1959065 Posté le 25-08-08 à 22:43
Posté par Profillafol lafol Correcteur

Bonjour
juste une petite remarque : l'énoncé donnait une contrainte sur une des coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 (laquelle ? il manquait un mot ...)
Je ne suis pas sure que cette contrainte ait été respectée par Guigui ....
re : Matrices et applications linéaires#msg1959067 Posté le 25-08-08 à 22:48
Posté par Profilgui_tou gui_tou

salut lafol

J'avoue que

Citation :
Remarque: on choisira la coordonnée des vecteurs v1, v2, v3 égale à 1.


est resté flou pour moi

peut-être qu'ils veulent qu'on prenne x=1 dans 3$\{x=x\\y=\fr{1+i}{2}x\\z=-x
re : Matrices et applications linéaires#msg1959070 Posté le 25-08-08 à 22:49
Posté par Profillafol lafol Correcteur

faudrait que laura nous dise s'il s'agit de la première, deuxième ou troisième coordonnée .....
re : Matrices et applications linéaires#msg1959071 Posté le 25-08-08 à 22:51
Posté par Profillafol lafol Correcteur

le plus cool serait la troisième : il n'y aurait qu'à choisir les opposés de ceux que tu lui as proposés ....
re : Matrices et applications linéaires#msg1959114 Posté le 26-08-08 à 04:24
Posté par Profillaurafr13 laurafr13

Navrée pour l'imprecision, il s'agissait de la coordonnée sur e2, on pouvait donc adapater le choix du x ou du y pour optenir 1 en deuxième coordonnée.

Merci encore gui_tou

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