Théorème de D'Alembert-Gauss

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Théorème de D'Alembert-Gauss

Posté le 24-08-08 à 23:33

Posté par Nightmare

Bonsoir tout le monde

Les connaisseurs d'analyse complexe connaissent tous la preuve du théorème fondamental de l'algèbre rapide utilisant le théorème de Liouville. J'ai entendu parlé d'une preuve utilisant le théorème de l'application ouverte.

Il est clair qu'un polynôme est analytique donc $3$\rm P(\mathbb{C})$ est un ouvert. Comment on déduire qu'il contient 0?

re : Théorème de D'Alembert-Gauss

Posté le 25-08-08 à 00:28

Posté par Nightmare

Ok c'est bon :

P est une application analytique, ouverte et propre. On en déduit qu'elle est surjective.

En effet, P est analytique et ouverte ce qui nous assure que $3$\rm P(\mathbb{C})$ est un ouvert. De plus il est connexe. Il suffit de montrer qu'il est aussi fermé.

On prend y un point d'accumulation et (u_n) telle que $3$\rm \lim_{n\infty} f(u_{n})=y$ .

f est propre (l'image réciproque de tout compact est un compact) donc (u_n) est une suite d'éléments d'un compact. On peut donc d'après Bolzano-Weirstrass en extraire une suite convergente vers un point x du compact et par continuité on a f(x)=y

re : Théorème de D'Alembert-Gauss

Posté le 25-08-08 à 17:34

Posté par Camélia

Bonjour

Si tu t'intéresses aux preuves de d'Alembert, en voici une pas très connue qui utilise l'homotopie.

Soit P un polynôme unitaire de degré n supérieur à 1 supposé sans racine. On montre que les lacets $\gamma_1(t)=e^{int}$ , $\gamma_2(t)=P(e^{it})$ et $\gamma_3(t)=P(0)$ sont homotopes dans C^* et on remarque une contradiction.

re : Théorème de D'Alembert-Gauss

Posté le 25-08-08 à 17:41

Posté par Nightmare

Salut Camélia

Oui j'avais eu cette preuve en exo, très intéressante

J'ai vu une autre preuve utilisant le théorème de Rouché.

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