Cantor-Bernstein et équipotence

Posté par robby3 robby3

Bonjour tout le monde,
j'ai lu que par le theoreme de Cantor-Bernstein()
on peut montrer que tout les intervalles de R ayant au moins deux éléments différents sont équipotents à R.

ma question est donc, comment fait-on ceci?
Merci d'avance de vos idées

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Il suffit de construire une injection de [a,b] dans [0,1] et de [0,1] dans [a,b], Cantor-Bernstein nous permet de conclure que [a,b] et [0,1] sont équipotents. Comme [0,1] est équipotent à R c'est réglé.

Posté par Nightmare Nightmare

Non en fait c'est idiot ce que je dis car on peut construire une bijection simple de tout intervalle dans [0,1] (on prend x->(x-a)/(b-a)) je ne pense donc pas que l'on admette que [0,1] ait la puissance du continu.

Je cherche autre chose.

Posté par robby3 robby3

Salut Nightmare

euhh oui, je pensais bien faire un truc comme ça, le seul probleme,c'est que les injections elles sortent pas du chapeau?!

et deuxieme petite interrogation...[0,1] équipotent à R?

Posté par Nightmare Nightmare

C'est justement ce qu'on va montrer.

On a une injection triviale de [0,1] dans R qui est l'injection canonique x->x. Il reste à trouver une injection de R dans [0,1], là est la difficulté. Enfin, tout ceci me semble bizarre. Car on a encore une fois une bijection simple d'un intervalle dans R -> la tangente.

Avec mon premier post on montre alors que tous les intervalles non réduit à un point sont équipotents. A partir de là tout intervalle est équipotent à ]-pi/2;pi/2[ donc ont la puissance du continu. Pas besoin de Cantor-Bernstein...

Posté par romu romu

Salut,

on peut quand même injecter IR dans [-1,1] avec la fonction , puis par dilatation passer dans [0,1], non?

Posté par Nightmare Nightmare

Salut romu

Oui effectivement, mais n'est-ce pas se compliquer la tâche lorsqu'on voit une bijection simple comme la tangente?

Posté par romu romu

c'est vrai

Posté par robby3 robby3

Salut Romu




dans tout ça, on peut pas s'en sortir avec
]a,b[ équipotent à ]-1,1[ puis utiliser ce que dit Romu?

Posté par Nightmare Nightmare

Oui éventuellement, mais comme on le dit c'est compliqué.

Cantor-Bernstein est très utile lorsqu'on a pas de bijection simple d'un ensemble dans un autre, les injections étant plus "faciles" à construire que les bijection. Cependant ici on a une bijection simple donc on a pas besoin de Cantor-Bernstein.

Posté par romu romu

Peut être utiliser Cantor-Bernstein pour montrer que deux intervalles sont équipotents sans s'embêter sur leur nature (ouverts, fermés, semi-ouverts).

Posté par robby3 robby3

y'a pas un truc qui peut nous faire "passer" de ]-1,1[à [-1,1]??

Posté par Nightmare Nightmare

Peut être romu...

On prend l'injection canonique de ]-1,1[ dans [-1,1] et x->x/2 de [-1,1] dans ]-1,1[, ce sont deux injections donc ]-1,1[ et [-1,1] sont équipotents.

Posté par robby3 robby3

Donc on prend a et b dans R,
équipotent à R par une similitude(je crois... composée d'une translation et d'une homothétie de rapport
on est donc dans ...injection canonique de Nightmare(17:08)
on atterrit dans puis ,on a une bijection dans R.

ça semble un peu bizarre...

Posté par Nightmare Nightmare

Ton histoire de similitude c'est plutôt pour envoyer ]a,b[ dans ]-1,1[ non?

Posté par robby3 robby3

euh oui pardon!

Posté par robby3 robby3


>je suis pas convaincu?!

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pourtant, vous y êtes! On construit facilement des bijections entre chaque type (borné, majoré seulement, minoré seulement) d'intervalle ouvert et R. (Utiliser la tangente, l'exponentielle et le log.)

Reste à voir les autres.

Or on a des inclusions ]a,b[[a,b[[a,b]R
qui règlent la question. On n'a pas d'homéomorphismes entre ces trucs, d'où la difficulté.

Après on s'arrange à la main pour des ]a,b] et des [a,+[

Posté par Nightmare Nightmare

Pourquoi n'es-tu pas convaincu robby3? il est pourtant clair que c'est une injection!

Posté par robby3 robby3

non c'est bon en fait...j'avais mal écrit les intervalles sur ma feuille

Salut Camélia...
ce que j'ai écrit convient-il?
sinon pourquoi?

si oui, que veux-tu faire avec tes inclusions?
qu'entend-tu par on "s'arranage à la main"..?

Posté par Camélia Camélia

Eh bien, si j'ai déjà écrit une bijection entre ]-1,1[ et R, mes inclusions prouvent en utilisant Cantor-Bernstein que tous les ensembles que j'ai écrit sont équipotents. Par "on s'arrange à la main" je veux dire qu'il est facile dans les cas restants d'écrire des bijections explicites.

Posté par robby3 robby3


>oui mais tes inclusions:

]a,b[[a,b[[a,b]R

elles sortent d'ou?
je veux dire, elles font quoi?

sinon ok

Posté par Camélia Camélia

Par exemple: ]-1,1[[-1,1] l'inclusion est une injection.

Ensuite je sais que x2arctan(x)/ est une injection de R dans ]-1,1[, donc sa restriction à [-1,1] est une injection de [-1,1] dans ]-1,1[ et Cantor dit qu'il existe donc une bijection.

Posté par robby3 robby3

ah mais d'accord!
je croyais que y'avait un truc général qui allait de ]a,b[ dans [a,b[...comme ça...

avec des 1 et -1, c'est ok, j'ai compris!
Merci Camélia