Développement limité avec la fonction ln

Posté par Madcs Madcs

Bonjour,

Je bloque sur un autre développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0, celui de la fonction suivante :

g(x) = ln(2 + cos(x))

J'ai d'abord mis la fonction sous la forme ln(1 + U(x)) où U(x)=1+cos(x) car il y a un théorème qui dit que si U tend vers 0 en a (a réel), alors ln(1 + U) équivaut à U en a.

Mais ici, mon U ne tend pas vers 0 mais vers 2, je ne peux donc pas utiliser le développement limité de ln(1+x) et remplacé x par U ensuite. Je ne vois pas comment on peut faire autrement.

Merci d'avance si vous avez des idées.

Posté par gui_tou gui_tou

Re

Factorise par 2, tu auras un truc du genre ln(2) + ln(1+U)

Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour  Madcs

En écrivant ln(2+cosx)=ln(3+cosx-1)=ln3+ln[1+(1/3)(cosx-1)],ça devrait te ramener au cas que tu cherches à exploiter.

Posté par gui_tou gui_tou

zut, faut factoriser par 3 oui .. sorry

Posté par Matouille2b Matouille2b

Bonjour



Or

Donc

Donc

Posté par J-P J-P

g '(x) = -sin(x)/(2+cos(x))

g ''(x) = (-2cos(x)-cos²(x)-sin²(x))/(2+cos(x))² = -1/(2+cos(x))²

g(0) = ln(3)
g'(0) = 0
g''(0) = -3/9 = -1/3

DL : ln(3) - (1/6)x² + o(x²)

Sauf distraction.

Posté par Madcs Madcs

Oui en effet ça marche tout de suite ! Merci beaucoup.