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intégrale double

Posté par
grizzli
26-08-08 à 22:21

bonjour,

Je vous soumets cette intégrale qui me pose problème :



a2-x2-y2dxdy

D = {x,y} avec x2+y2a2   avec a > 0

Je me dis qu'il faut passer en coordonnées polaires avec 0ra

et 02

C'est la valeur a qui me perturbe. Je ne vois pas comment je dois la traiter

merci pour votre aide !

Posté par
lafol Moderateur
re : intégrale double 26-08-08 à 22:33

Bonsoir
pourquoi te perturbe-t-elle ? tu obtiens \Bigint_0^{2\pi}{\Bigint_0^a{\sqrt{a^2-r^2}rdr}d\theta} dans lequel le rdr incite à poser u = a²-r²

Posté par
grizzli
re : intégrale double 27-08-08 à 06:41

c'est ça que je ne comprends pas bien : peux-tu m'expliquer, plus en détails, le "rdr incite à poser u = a2-r2" ?

merci !

Posté par
JJa
re : intégrale double 27-08-08 à 07:26

Bonjour,

on voit que la dérivée de (a²-r²) est -2rdr
et on a intérêt à faire apparaitre la dérivée de ce qui est en racine carrée :
u = a²-r²
du = -2rdr
donc (-1/2)(racine(u))u'
dont l'intégration est évidente

Posté par
grizzli
re : intégrale double 27-08-08 à 22:09

je ne comprends pas à quel moment on doit faire appel au changement de variable !

aidez-moi à mettre de l'ordre dans mon cerveau !

pour moi, pour faire ce calcul, je dois sortir a2 de l'intégrale puisque il ne dépend ni de dx ni de dy...j'imagine que mon raisonnement est complètement faux...

Posté par
lafol Moderateur
re : intégrale double 27-08-08 à 22:19

\Bigint_0^{2\pi}{\Bigint_0^a{\sqrt{a^2-r^2}rdr}d\theta}= \(\Bigint_0^{2\pi}d\theta\)\(\Bigint_0^a{\sqrt{a^2-r^2}rdr\)=2\pi\Bigint_0^a{\sqrt{a^2-r^2}rdr

ensuite, tu poses u = a² - r², qui donne du = -2rdr, et pour r = 0, u = a², pour r = a, u = 0 : on va se servir du "moins" de "du" pour "remettre les bornes à l'endroit" :

on obtient : \pi\Bigint_0^{a^2}{\sqrt{u}du.

tu sauras terminer ?

Posté par
grizzli
re : intégrale double 27-08-08 à 22:42

le truc que je ne comprends pas c'est le du = -2rdr.

comment tu le trouves ? il te sert simplement à intervertir les bornes ?

désolé...

question subsidiaire : la présence d'une inconnue (ici a2) qui ne dépend ni de dx ni de dx implique-t-elle systématiquement un changement de variable ? dans quelle autre situation doit-on s'en servir (en dehors du passage en polaire)

merci pour tes explications !

Posté par
lafol Moderateur
re : intégrale double 27-08-08 à 22:49

le du = -2rdr vient de la différentielle de a²-r²

si tu n'as pas vu ce qu'est une différentielle,
utilise du = u'(r)dr, avec u(r) = a² - r²

c'est le signe moins, qui sert à échanger la borne du bas avec celle du haut pour les remettre dans l'ordre ...

a² n'est pas une inconnue mais un paramètre

ce qui conduit au changement de variable, c'est l'allure de la fonction à intégrer : racine trop complexe ici, on cherche à se ramener à du racine de u tout bete, et ça tombe bien : on a ce qu'il faut pour le du (le fameux rdr)

Posté par
grizzli
re : intégrale double 27-08-08 à 23:16

merci pour tes explications !

Donc, si j'a ibien compris, le seul intérêt de calculer le du est le sens des bornes ?

Posté par
JJa
re : intégrale double 28-08-08 à 08:52

Bonjour grizzli,

tu as écrit : << Donc, si j'ai bien compris, le seul intérêt de calculer le du est le sens des bornes ? >>
Et bien, tu n'as pas bien compris du tout !!!
S'il s'agissait d'un simple changement de signe et de sens des bornes, on n'en ferrait pas tant : ce serait de l'enfantillage.
N'as-tu pas vu que c'est une OBLIGATION de calculer le du en fonction du dr ? Ou de calculer le dr en fonction de du. C'est beaucoup plus que de l'intérêt, puisque c'est une obligation. Pourquoi ?
Parce que l'on est obligé de remplacer aussi le dr de l'intégrale lorsqu'on fait le changement de variable : Il faut bien qu'il ne reste dans l'intégrale que des u et du et qu'il n'y ait plus de r ni dr après.

Posté par
lyonnais
re : intégrale double 28-08-08 à 14:26

Bonjour grizzli

Si tu ne matrises pas encore très bien le changement de vériable tu peux faire autrement pour calculer :

\Large{\Bigint_{0}^a \sqrt{a^2-r^2}r dr

En gros tu veux trouver une primitive de \rm f : r \to r.\sqrt{a^2-r^2}

Tu peux écrire \rm f(r) = -\frac{1}{2}.(-2r)(\sqrt{a^2-r^2}) = -\frac{1}{2}.u'(r).(u(r))^{1/2}

C'est de la forme u'.un dont ton cours de terminale te dis qu'une primitive est un+1/(n+1)

Je te laisse poursuivre ...

Posté par
lyonnais
re : intégrale double 28-08-08 à 14:28

Avec bien sur ici :  u(r) = a²-r²

Posté par
lafol Moderateur
re : intégrale double 28-08-08 à 17:28

en voyant les dernières questions de grizzli, je me demande si ses profs lui ont expliqué pourquoi dx dy a été remplacé par r dr d(theta) ?

Posté par
lyonnais
re : intégrale double 28-08-08 à 18:35

C'est vrai ...

Mais peut-être commence-t-elle/il tous juste les changements de variables dans une intégrales donc ...

Mais c'est quand même "crucial" de savoir différentier une équation

Posté par
lafol Moderateur
re : intégrale double 28-08-08 à 19:04

commencer tout juste en attaquant bille en tete sur des intégrales doubles
j'ai l'impression qu'on ne parle plus beaucoup de différentielle, dans un certain nombre de formations ....

Posté par
grizzli
re : intégrale double 28-08-08 à 22:03

Je ne vais pas me lancer dans une explication concernant mon parcours...ce serait un peu long.

Il est clair que mon savoir se construit plus comme un puzzle que comme un bâtiment.

Même si c'est difficile d'expliquer précisément une difficulté ou un blocage dans un forum, je vous remercie de l'aide apportée et du temps consacré à cet exercice qui me permet d'être un peu moins perdu dans le merveilleux monde des intégrales !

merci à tous !

Posté par
lafol Moderateur
re : intégrale double 28-08-08 à 23:22

si on peut t'aider à placer d'autres pièces du puzzle, ce sera toujours avec plaisir



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