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Ker, droite vectorielle et cycles

Posté par
laurafr13 27-08-08 à 11:26

Bonjour,

Merci d'avance pour votre aid précieuse.

f est cyclique d'ordre n.
E un C-espace vectoriel de dimension n.

La question précédente était: Soit v un vecteur non nul de E tel qu'il existe un complexe vérifiant f(v) = v. Montrer que n = 1.

Ca a été fait sans problème.

La question suivante est:

Soit k = e2ik/n

Montrer que Ker(f − kIdE) est une droite vectorielle et déterminer un vecteur xk qui engendre cette droite.

Cela signifie donc que mon vecteur directeur doit dépendre de k non?

Tout ce que j'arrive à trouver c'est que Ker(f − kIdE)={f(v)/k, 1/k R*}

Merci beaucoup,

Laura

Posté par
LeHiboure : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 11:42

Bonjour,

L'idée est de montrer qu'il y a un espace propre distinct par valeur de k de 1 à n, donc ils sont en somme directe, donc il ne peuvent être que de dimension 1, donc des droites....

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 12:06

euh c'est au programme de sup ca?

Posté par
LeHiboure : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 14:45

On n'en est pas très loin, puisqu'on a déjà la théorie de la dimension.
Regarde là

Je te précise le raisonnement :
- on appelle l_k les k racines de l'unité (désolé pour le lambda...), qui sont toutes les valeurs propres de f.
- à chaque k on associe E_k = Ker(f - l_kI), c'est ce qu'on appelle le "sous-espace propre" associé à l_k.
- ce sous-espace propre comprend au moins un vecteur propre, soit x_k
- et donc dim(E_k) 1
- donc Somme(k=1..n, dim(E_k)) n
- la clé, c'est de montrer qu'à deux valeurs propres distinctes correspondent deux sous-espaces propres "disjoints", au sens où ils n'ont que {0} en commun.
c'est très facile, je te laisse le faire en exercice
- donc la somme des E_k est une somme directe
- maintenant, si un des espaces E_k était de dimension > 1, on aurait :
Somme(k=1..n, dim(E_k)) > n
- or la somme directe des E_k est inclue dans E, donc de dimension n
et la dimension de la somme directe des E_k est la somme des dimensions des E_k
- donc on a Somme(k=1..n, dim(E_k)) n
- d'où contradiction, d'où la dimension de chaque E_k est strictement égale à 1

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 14:55

Bonjour

LeHibou excuse moi mais comment es-tu sur que \lambda_k est bien une valeur propre de f ?

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 15:03

Parce que la première question ne permet d'affirmer que : sp(f) \subset \{e^{\frac{i2k\pi}{n}};k\in \{0,...,n-1\}\}

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 15:42

Justement on a aucune raison d'avoir l'inclusion inverse
exemple, dans\mathbb C^4
A=\left(
\begin{array}{cccc}
0&-1&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&-1\\
0&0&1&0\end{array}
\right)
est cyclique d'ordre 4
dans un C-espace vectoriel de dimension 4.
Pourtant les deux racines quatrèmes de l'unité +1 et -1 ne sont pas valeurs propres et
Ker(A-iI) de dimension 2,n'est pas une droite vectorielle
De meme Ker(A+iI) de dimension 2,n'est pas une droite vectorielle

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 15:44

excusez j'ai oublié de mettre la matrice en tex
A=\left( \\ \begin{array}{cccc} \\ 0&-1&0&0\\ \\ 1&0&0&0\\ \\ 0&0&0&-1\\ \\ 0&0&1&0\end{array} \\ \right)

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 15:47

D'accord je crois avoir compris le principe. En revanche, on me demande de déterminer le vecteur xk qui engendre cette droite, je fais comment?

Merci beaucoup

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 15:53

ah donc je ne peu faire comme ca n'est-ce pas? Vous auriez une autre solution?

Merci d'avance

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 16:00

En effet  apaugam çà marche pas du tout cette histoire !!! Pas d'inclusion inverse !!!
laurafr13 es tu sure d'avoir fourni toutes les hypothéses ?

Posté par
LeHiboure : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 16:27

OK, j'ai été un peu vite, les l_k ne sont pas nécessairement des vecteurs propres, et mon raisonnement ne tient pas totalement. On pourrait cependant le sauver si on pouvait montrer que pour chaque k on a dim(Ker(f - l_k.I)) 1. Le reste est bon, en particulier le point critique qui est que les Ker(f - l_k.I) sont en somme directe. Quelqu'un aurait peu-être une idée  pour montrer que dim(Ker(f - l_k.I)) 1 ?

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 16:34

mon exemple montre que c'est faux
dim(ker(A-\lambda_2 I))=0 avec \lambda_2 =e^{2(2i\pi/4))=-1

Posté par
LeHiboure : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 16:39

-> apaugam :
D'après ton exemple, l'énoncé lui-même serait faux puisqu'il demande de montrer que tous les Ker(f - lambda_k.I) sont des droites vectorielles ???

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 16:58

Ok je vous redonne tout en détail parce qu'apparemment il doit manquer quelque chose:

En préliminaire on a la définition d'un endomorphisme cyclique:

Soit p un entier naturel non nul. On dut qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre p si et seulement s'il existe un vecteur x0 de E vérifiant les troi conditions suivantes:

C1 fp(x0)=x0
C2 La famille (x0, f(x0)...fp-1(x0))est constitué d'éléments deux à deux distincts
C3 La famille (x0, f(x0)...fp-1(x0))est alors appelée cycle de f.

Dans cette partie E désigne un C-espace vectoriel de dimension n et f estun endomorphisme de E, cyclique d'ordre p. On note (x0, f(x0)...fp-1(x0)) un cycle de f.

1. Je montre que pn

2. Je montre que fp=IdE. J'en déduis que f est un automorphisme de E et je trouve f-1= fp-1

3.On note m le plus grand des entiers naturels k tels que la famille (x0, f(x0)...fk-1(x0)) est libre.
a) Je justifie l'existence de m
b) Je montre que fm(x0) est combinaison linéaire de x0, f(x0),...,fm-1(x0).
c) Je montre que pour tout entier k supérieur ou égal à m, le vecteur fk(x0) est combinaison linéaire de x0, f(x0),...,fm-1(x0).
d) J'en déduis que m=n et que B=(x0, f(x0)...fm-1(x0)) est une base de E.

4. On note a0,..., an-1 les nombres complexes tels que fn(x0)=a0x0+...+an-1fn-1(x0).

a)On note g= a0IdE+a1f+...+an-1fn-1
  i)Je montre que g est un endomorphisme de E
  ii) Je montre que pour out k naturel, g(fk(x0))=fn+k(x0)
  iii) Je déduis que fn=g

b)Je détermine la matrice de f dans la base (x0, f(x0)...fn-1(x0)) à l'aide des coefficients a0,..., an-1

5. On suppose dans cette question que f et un cyle d'ordre n=dim E

a) J'écris ce que deviens la matrice dans la base (x0, f(x0)...fn-1(x0)) définie à la question 4.b)

b) Soit v un vecteur non nul de E tel qu'il existe un complexe vérifiant f(v)=.v . Je montre que n=1.

c) Soit k=e2ik/n
Montrer que Ker(f-IdE) est une droite vectorielle et déterminer un vecteur xk qui engendre cette droite.

d) Soit n-1k=0 k.xk=0 une combinaison linéaire nulle des xk.

Montrer que P[X],n-1k=0 k.P(k).xk=0.

En déduire que (x0,...,xn-1) est une famille libre, donc une base de E.

e) Déterminer la matrice de f dans cette base.

Merci infiniment pour votre aide, les questions en gras sont celles que je n'arrive pas faire,

Laura

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 17:53

je prend un exemple en dimension n=4
f=-Id
x_0,f(x_0) sont distincts et f^2(x_0)=x_0
f serait donc un cycle d'ordre 2 et pourtant 2<n !
ton 1. me semble incorrect p>=n
SI A=\left( \\ \begin{array}{cccc} \\ 0&-1&0&0\\ \\ 1&0&0&0\\ \\ 0&0&-1&0\\ \\ 0&0&0&-1\end{array} \\ \right)
et x_0=e_3
x_0,f(x_0) sont distincts et f^2(x_0)=x_0
f serait donc un cycle d'ordre 2
Mais

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 17:55

Mais f^2\neq ID

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:29

Ca y est je pense avoir trouvé

On pose x_k = \bigsum_{i=O}^{n-1}\lambda_k^{n-i}f^{i}(x0)

Alors f(x_k)=\bigsum_{i=O}^{n-1}\lambda_k^{n-i}f^{i+1}(x0)=\bigsum_{i=1}^{n}\lambda_k^{n+1-i}f^{i}(x0)=\lambda_k \bigsum_{i=1}^{n}\lambda_k^{n-i}f^{i}(x0)=\lambda_k (\bigsum_{i=1}^{n-1}\lambda_k^{n-i}f^{i}(x0)) + \lambda_k x_0 = \lambda_k x_k

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:32

Donc sp(f) \subset \{\lambda_k; k \in \{0,..,n-1\}\}

Et ensuite il suffit d'appliquer le raisonnement de LeHibou

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:36

Je voulais écrire sp(f) = \{\lambda_k ; k \in \{0,..,n-1\}\}

Donc f posséde n valeurs propres distinctes et puisque dim E = n, chacun de ses sous espaces propres est nécessairement de dimension 1

Conclusion : E_{\lambda_k}=ker(f-\lambda_k I)= vect(x_k)

Posté par
LeHiboure : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:38

Donc finalement les l_k sont bien des valeurs propres, et les x_k des vecteurs propres. Merci Matouille2b, c'est brillant

Posté par
LeHiboure : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:43

Petite question juste pour aller un peu plus loin :
On considère le polynome P(X) = X^n - 1. Si f est cyclique d'ordre n, il annule P(X). Or P(X) est scindé sur C, ses racines sont précisément les lambda_k pour k = 1...n. Peut-on en déduire que, à un signe près, P(X) est le polynome caractérisrique et aussi le polynome minimal de f ? Je me demande

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:44

En fait je viens de m'apercevoir que le but de l'exercice n'est pas d'utiliser les resultats classique sur la diagonalisation.
Il faut donc raisonner autrement pour montrer que E_{\lambda_k}=vect(x_k)
Pour cela il suffit juste que tu montres que si x \in E_{\lambda_k} i.e. f(x)=\lambda_k x alors x et x_k sont colinéaires (pas trop difficile)

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:48

Je ne pense pas LeHibou
Si f annule P(X)=X^n-1 (qui est scindé sur C à racines simples), tu peux juste en déduire que le polynome minimal de f est scindé sur C à racine simples donc que f est diagonalisable et que sp(f) inclu racine P (qui sont les racines n-ième de l'unité) mais rien assure l'inclusion reciproque comme là si bien montré l'exemple de apaugam

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 18:52

Je viens de donner deux exemples pour montrer que le debut ne va pas alors comment continuer avec un debut faux ?

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 19:01

Pour la question d. il suffit de montrer le résultat pour P(X)=X^{i} (i \in \mathbb{N}
En effet Si P(X) = \bigsum_{i=0}^{m}a_iX^i alors :

\bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k P(\lambda_k) x_k = \bigsum_{i=0}^{m} a_i \bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k \lambda_k^i x_k =\bigsum_{i=0}^{m}0=0


Pour obtenir le résultat il suffit donc de multiplier \bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k x_k=0 par \lambda_k^i, ce qui donne \bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k \lambda_k^i x_k=0

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 19:06

je ne sais pas tout ceci semble étrange car la première question est bien "montrer que p supérieur ou égal à n" ce qui est d'ailleurs assez évident à démontrer car le cycle de f contient p éléments et qu'il s'agit d'une famille génératrice de E, qui est de dimension n. Par conséquent, p supérieur ou égal à n.
En revanche, je ne pense vraiment pas qu'il faille utiliser les valeurs propres, nous ne les avons vu que vite fait dans un exercice, meme pas en cours, et dans cet exercice il était explicité clairement de quoi il s'agissait.
Pensez vous qu'il existe un autre moyen que de passer par les valeurs propres?
Matouille2b, peux tu m'expliquer plus en détail ton raisonnement à rpopos de x et xk colinéaires?

Merci beaucoup

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 19:23

Je t'explique

Soit x \in ker(f- \lambda_k I)

puisque (f^{i}(x_0))_{0\leq i \leq n-1} est une base de E, \exists ! (a_i)_{0\leq i \leq n-1} tel que x=\bigsum_{i=0}^{n-1}a_if^{i}(x_0)

Or f(x) = \lambda_k x
i.e \bigsum_{i=0}^{n-1}a_if^{i+1}(x_0)=\bigsum_{i=0}^{n-1}\lambda_k a_if^{i}(x_0)
i.e a_{n-1}x_0 + \bigsum_{i=1}^{n-1}a_{i-1}f^{i}(x_0)=\bigsum_{i=0}^{n-1}\lambda_k a_if^{i}(x_0)

Par unicité on a donc:
a_{n-1}= \lambda_k a_0 et \forall i \in \{1, ...,n-1\}; a_{i-1}= \lambda_k a_i

Puis finalement x=a_0 x_k (cqfd)

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 19:28

Tu ne précises jamais dans ton enoncé que le cycle de f est une famille génératrice de E, sinon c'est faux comme le montre les différents exemples de apaugam

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 19:39

oups oui en effet, j'ai oublié la propriété C3 du cycle, désolée.

Je dois avouer comprendre ton raisonnement mais de manière assez floue. Est-ce que tu veux bien détailler encore, notamment en quoi le premier i.e implique le deuxième.
Merci beaucoup.

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:12

Et bien j'utilise simplement le fait que f^n(x_0)=x_0 et je sors le terme en n de la somme en réindiçant mes variables afin d'avoir une somme indéxée sur {1,...,n-1}

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:15

d'accord et je ne comprends pas les étapes suivantes non plus.

Merci

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:16

L'etape de l'unicité ?
J'utilise simplement le fait que (f^{i}(x_0))_{0 \leq i \leq n-1} est une base ...

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:38

Par contre pour l'histoire du polynome je me suis trompé dans la fin de mon raisonnement
En effet je multiplie \lambda_k^i par \bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k x_k=0, ce qui n'est pas cohérent avec le fait que la somme est indéxée sur k.
En fait il suffit de composer \bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k x_k=0 par f^{i} pour obtenir le résultat en remarquant que f^i(x_k) = \lambda_k^i x_k ...

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:48

Pour conclure on peut par exemple utiliser les polynomes d'interpolation L_i de Lagrange relatif aux \lambda_k
Ce sont des polynomes de degré n tels que \forall k \in \{0,...,n-1\}, L_i(\lambda_k)=\delta_i^k (symbole de kronecker)

En posant P=L_i on obtient à partir de \bigsum_{k=0}^{n-1} \alpha_k L_i(\lambda_k) x^k=0 : \alpha_i=0

Conclusion : B = (x_k)_{0 \leq k \leq n-1} est une famille libre de E comportant n vecteurs, c'est donc une base de E

Et Mat_B f = diag(\lambda_1,...,\lambda_n)

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:48

oui mais alors pourquoi x=a0xk? que représente xk? pourquoi les autrent ai disparaissent?

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 20:53

Alala t'es à l'ouest !!!!

x_k c'est le vecteur que j'ai défini plus haut :

x_k = \bigsum_{i=0}^{n-1} \lambda_k^{n-i} f^i(x_0)

tu montres en fait que \forall i \in \{0,...,n-1\}, a_i=a_0 \lambda_k^{n-i}

Bien-sur il faut mettre les mains dans le camboui

Posté par
laurafr13re : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 21:04

ahhh ok ca y est j'ai compris

merci beaucoup en tous cas, pour ta patience surtout

Posté par
Matouille2bre : Ker, droite vectorielle et cycles 27-08-08 à 21:29

Mais je t'en prie ca va je rigolais

Pour la suite c'est bon pour le résultat sur les polynomes ? (je me suis un peu eparpillé ... )

Posté par
apaugamre : Ker, droite vectorielle et cycles 28-08-08 à 14:32

je reprend apres une interruption et je vois que tout est résolu.
j'ajouterai une précision sur la méthode pour rechercherx_k
qui parait un peu tomber du ciel.
On peut utiliser le calcul de Matouille2b pour le déterminer : Soit x\in Ker(f-\lambda_k I).
Exprimons cet x dans la base de E
x=\Sigma_{i=0}^{n-1} a_if^i(x_0)
j'effectue le même calcul que Matouille2b en n'hésitant pas éventuellement à utiliser les \ldots pour y voir plus clair dans les\Sigma et je trouve
x=a_0(\lambda_k^{n-1}x_0+\lambda_k^{n-2}f(x_0)+\ldots+\lambda_k f^{n-2}(x_0)+f^{n-1}(x_0))
Ce calcul montre que Ker(f-\lambda_k I) est bien une droite vectoriel engendré parx_k=(\lambda_k^{n-1}x_0+\lambda_k^{n-2}f(x_0)+\ldots+\lambda_k f^{n-2}(x_0)+f^{n-1}(x_0)).


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