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Niveau Maths sup
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Dérivées nièmes

Posté par
Madcs
27-08-08 à 11:44

Bonjour,

Je dois calculer les dérivées nièmes des fonctions suivantes :

a) f(x) = cos3(x)sin2(x)

b) g(x) = 1 / (1+x)

c) h(x) = 1 / (1-x2)

d) v(x) = x3e-x

Mais je n'ai jamais faire ce genre de chose en exercice ni même en exemple. Dans mon cours, on a juste un paragraphe avec les formules. Du coup, je ne vois pas du tout comment commencer, ou quelle méthode utiliser.

Sauf pour la a), j'ai eu l'idée de linéariser cos3(x) et remplacer sin2(x) par 1+cos2(x) pour avoir des sommes et seulement des cos, mais après quand je développe ça devient compliqué.
Au début, pour la a), j'avais écris la dérivée nième de f avec la formule de Leibniz, avec la somme des k parmi n de cos3(x+k/2).sin2(x+(n-k)/2) ... mais je ne crois pas qu'il suffit d'écrire ça!

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
rogerd
Dérivées nièmes 27-08-08 à 11:53

Bonjour,

ce sont des classiques, que tu rencontreras souvent.
Pour a) linéariser complètement.
Pour b) on voit apparaître une formule de récurrence
Pour c) décomposer la fraction en éléments simples
Pour d) calculer les premières dérivées pour voir comment ça se passe.

Posté par
pioute
re : Dérivées nièmes 27-08-08 à 12:29

salut madcs

effectivement rogerd a raison, ce sont des classiques. Je sors moi aussi d'une année de sup et ça fait partie des choses à savoir faire rapidement
pour la a) tu as eu le bon réflexe
pour la b) effectivement une formule de récurrence apparait, vérifie là mais il me semble que c'est : g(n)(x)=(-1)n.n!/(1+x)n+1
pour la c) écoute rogerd
pour la d) utilise la formule de Leibnitz :
(f.g)(n) = k=0n(kn) f(k)g(n-k)

Posté par
pioute
re : Dérivées nièmes 27-08-08 à 12:39

si tu n'as jamais appliqué la formule, je te donne un exemple, pour la d)
tu vas obtenir :
en remplaçant dans la formule f par x3 et g par e-x
le terme pour k=0 : (-1)n.x3.e-x
le terme pour k=1 : 3.(-1)n-1.n.x2.e-x
etc...
jusqu'à k=3
puisque pour k=4 la dérivée de x3 est nulle
tu vas donc avoir une somme de 4 termes  (pour k=0,1,2 et 3)

voilou

Posté par
rogerd
Dérivées nièmes 28-08-08 à 08:55

Il serait bon que Madcs nous dise s'il est satisfait des réponses apportées à sa question...



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