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v.a.

Posté par
jolymily 27-08-08 à 21:33

Voilà j'ai un problème dont je n'arrive pas les question ci dessous :
on a p]0;1[ et on dit qu'une v.a. X, définie sur un espace probabilisé (,A,P) , suit une loi E(1,p) quand :
X()= N et kN,  P(X=k)=p(1-p)k

1/ vérifier que la relation est bien une loi de probabilité et déterminer (si elle existe) l'espérance d'une telle v.a. X ?

2/Soit X et Y deux v.a. indépendantes suivant ttes les deux la oi E(1,p). Déterminer la loi de Z=X+Y ??

3/Déterminer la loi conditionnelle de X sachant Z ??

Merci de votre aide

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 21:49

Bonsoir

Pour la question 1, on vérifie que \forall k \in \mathbb{N}, p(X=k) \geq 0
et \bigsum_{k=0}^{+ \infty}P(X=k) = \bigsum_{k=0}^{+ \infty} p(1-p)^k = p \bigsum_{k=0}^{+ \infty} (1-p)^k = p \frac{1}{1-(1-p)}=1 (série géomètrique)

Posté par
jolymilyre : v.a. 27-08-08 à 22:13

et du coup son espérance vaut : E(X) = 1/p ???

Posté par
cailloux Correcteurre : v.a. 27-08-08 à 22:18

Bonsoir,

Ou plutôt \frac{1}{p}-1 non ?

Posté par
veledare : v.a. 27-08-08 à 22:21

bonsoir à tous,
d'accord avec toi Cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : v.a. 27-08-08 à 22:23

Bonsoir veleda

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 22:26

E(X) = \bigsum_{k=0}^{+ \infty}kp(1-p)^k = p(1-p)\bigsum_{k=1}^{+ \infty}k(1-p)^{k-1}

On pose z=1-p
Alors f(z)= \bigsum_{k=1}^{+ \infty}kz^{k-1} est une serie entière de rayon de convergence 1.
Donc F(z) = \bigsum_{k=1}^{+ \infty}z^k=\frac{z}{1-z} est aussi une série entière de rayon de convergence 1.
En dérivant on obtient : f(z) = \frac{1}{(1-z)^2}

Donc E(X) = p(1-p)f(1-p) = \frac{1-p}{p}

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 22:36

question 2 : Soit k \in \mathbb{N}

P(Z=k) = P(X+Y=k) = \bigsum_{i=0}^{k}P((X=i)\cap (Y=k-i))= \bigsum_{i=0}^{k}P(X=i)\times P(Y=k-i)

P(Z=k)= \bigsum_{i=0}^{k}p(1-p)^ip(1-p)^{k-i} = \bigsum_{i=0}^{k}p^2(1-p)^k = (k+1)p^2(1-p)^k

Posté par
veledare : v.a. 27-08-08 à 22:43

je trouve cela aussi pour P(Z=k)

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 22:44

Bonsoir Veleda

Posté par
jolymilyre : v.a. 27-08-08 à 22:59

oulala, je ne vous suit pas pour la question 1 !!! je peux avoir une explication plus détaillée svp
La question 2 je pense avoir compris !
Question 3 : on fait avec les probabilité totale ?

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 23:23

Pourtant c'est la définition, il n'y a rien d'extraordinaire !!!

Posté par
jolymilyre : v.a. 27-08-08 à 23:41

je ne vois pas pourquoi il y a des fonctions qui interviennent, et on calcul directement l'espérance sans montrer qu'elle existe cad si la somme des k*P(X=k) converge ?
Est-ce normal ?

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 23:51

Pour la 3eme question :

Soit k,k' \in \mathbb{N}

p((X=k)/(Z=k')) = \frac{p((X=k) \cap (Z=k'))}{p(Z=k')}= \frac{p((X=k) \cap (X+Y=k'))}{p(Z=k')}=\frac{p((X=k) \cap (Y=k'-k))}{p(Z=k')}=\frac{p(X=k) \times p(Y=k'-k)}{p(Z=k')}

Premier cas : si k'<k :
Alors p((X=k)/(Z=k')) =0

Second cas : si k'\geq k
Alors p((X=k)/(Z=k')) = \frac{p(1-p)^k \times p(1-p)^{k'-k}}{(k'+1)p^2(1-p)^{k'}}= \frac{1}{k'+1}

Posté par
Matouille2bre : v.a. 27-08-08 à 23:53

Au début je calcule de facon formelle puis grace au série entière je justifie mes calculs ...

Posté par
jolymilyre : v.a. 28-08-08 à 00:19

merci beaucoup de votre aide

Posté par
stokastikre : v.a. 28-08-08 à 14:44


Pour 3/, remarque: on voit sur le résultat donné par Matouille2b que P(X=k | Z=k') ne dépend pas de k, ainsi la loi de X sachant Z=k' est la loi uniforme sur \{0,1,\ldots,k'\}.


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