bonjour,
je bloque pour 2 questions, pouvez vous m'aider svp :
1. soit J =
calculer Jn pour tout n naturel non nul
> j'ai essayé en calculant J², J3, etc mais je n'ai pas trouvé de relations
2. soit A =
déterminer un polynome P, aussi simple que possible, tel que P(A)=0. en déduire que A est inversible et déterminer son inverse
merci beaucoup
bonne journée ^^
Edit Coll : balises... Vérifie avec "Aperçu" avant de poster !
Bonjour,
Je tenterais plutôt de séparer J selon la 1ère diagonale, cela donne une matrice triangulaire supérieure et une matrice triangulaire inférieure à diagonale nulle (désolé pour la représentation non LaTeX...) :
J1 =
(0 1 1)
(0 0 1)
(0 0 0)
et :
J2 =
(0 0 0)
(1 0 0)
(1 1 0)
J1² et J² sont faciles à calculer :
J1² =
(0 0 1)
(0 0 0)
(0 0 0)
et :
J2² =
(0 0 0)
(0 0 0)
(1 0 0)
Les puissances suivantes de J1 et J2 sont nulles.
Le développement de (J1 + J2)^n se fait alors suivant la formule du binôme, mais avec un nombre très réduit de termes non nuls, et tu vois immédiatement qu'à partir de la puissance 5 les puissances de J sont nulles.
Bonjour,
Le mieux est d'expliciter les termes non nuls :
Puissance 2 : J1² + 2 J1.J2 + J2²
Puissance 3 : J1^3 + 3 JI².J2 + 3 J1.J2² + J1^3 = 3 JI².J2 + 3 J1.J2²
Puissance 4 : J1^4 + 4 J1^3.J2 + 6 J1².J2² + 4J1.J2^3 + J2^4 = 6 J1².J2²
Puissance 5 : J1^5 + 5 J1^4.J2 + 10 J1^3.J2² + 10 J1².J2^3 + 5 J1.J2^3 + J1^5 = 0
Désolé, je complète...
Oui parce que dans l'expression de J^5 les matrices J1 et J2 sont à une puissance 2 , or J1² = 0 et J2² = 0 et évidemment J1^n = 0 et J2^n = 0 pour tout n 2.
La multiplication pour les matrices est-elle commutative ?
Dans la méthode que je propose, on évite cet écueil en utilisant la matrice I.
Bonjour fusionfroide,
merci pour ton intervention. Il s'agissait pour moi d'une question (rhétorique) qui indiquait la différence entre la méthode suggérée pas LeHibou et moi-même...
Bonjour
La technique ici est bien d'utiliser le binôme de newton mais avec des matrices Nilpotentes ...
Donc on peut poser : J = K + L avec :
et
Réflexion faite, la méthode de ThierryMasula est celle attendue ...
Mes matrices ne vérifient pas K.L = L.K donc pas de binôme Désolé
Une autre méthode est de calculer le polymôme caractéristique de J. On trouve :
PC(x) = -(x-2)(x+1)²
On regarde le SEP associé à la valeur propre -1. Il est de dimension 2 donc J est diagonalisable. Ainsi son polynôme minimal est :
PM(x) = (x-2)(x+1)
On fait alors la division euclidienne de Xn par ce polynôme minimal. On obtient :
Xn = PM(X).Q(X) + a.X + b
On injecte les valeur qui annule le PM ( ici 2 et -1 ). On obtient le système :
d'où :
Avec pour n >= 2 :
Jn = a.J + b.I3
Sauf erreurs ...
pour le polynome minimal pas besoin de polynome caracteristique . Il nous suffit d'ailleur d'un polynome annulateur
on calcule J annule donc le polynome
Salut lyonnais
La matrice dont je parle est celle définie par ThierryMasula( nos messages se sont croisés à 2 mn près)
pour la 2) un petit cacul donne soit d'où .
Finalement on aura fait le travail pour anyone,
C'est la formule de lyonnais qui est la plus proche de la solution me semble-t-il...
Peut-être que si on savait exactement ce qu'est I3.
Ma solution utilise la forme Jn=a.K+b.I
K et I sont les matrices qur j'ai défini précédement.
Pour a et b... voyons où cela mène anyone...
On a un peu oublié la question 2, quoique le polynôme demandé me semble aisé à identifier !
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