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algebre : matrices

Posté par
anyone
28-08-08 à 09:57

bonjour,
je bloque pour 2 questions, pouvez vous m'aider svp :

1. soit J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
calculer Jn pour tout n naturel non nul
> j'ai essayé en calculant J², J3, etc mais je n'ai pas trouvé de relations

2. soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}
déterminer un polynome P, aussi simple que possible, tel que P(A)=0. en déduire que A est inversible et déterminer son inverse


merci beaucoup

bonne journée ^^

Edit Coll : balises... Vérifie avec "Aperçu" avant de poster !

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 10:16

Bonjour anyone,

Posté par
anyone
re : algebre : matrices 28-08-08 à 10:17

merci d'avoir corriger ^^

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 10:20

Bonjour anyone,

Pour la question 1

Cela n'aide pas de poser

J=K-I où K=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} et I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ?

Posté par
anyone
re : algebre : matrices 28-08-08 à 10:51

normalement je dois utiliser le binome de newton la.. non ?

je tourne en rond..

merci

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 11:15

Cela donne quoi avec le binôme de newton ?

Posté par
LeHibou
re : algebre : matrices 28-08-08 à 11:18

Bonjour,

Je tenterais plutôt de séparer J selon la 1ère diagonale, cela donne une matrice triangulaire supérieure et une matrice triangulaire inférieure à diagonale nulle (désolé pour la représentation non LaTeX...) :
J1 =
(0 1 1)
(0 0 1)
(0 0 0)

et :
J2 =
(0 0 0)
(1 0 0)
(1 1 0)

J1² et J² sont faciles à calculer :
J1² =
(0 0 1)
(0 0 0)
(0 0 0)

et :
J2² =
(0 0 0)
(0 0 0)
(1 0 0)

Les puissances suivantes de J1 et J2 sont nulles.
Le développement de (J1 + J2)^n se fait alors suivant la formule du binôme, mais avec un nombre très réduit de termes non nuls, et tu vois immédiatement qu'à partir de la puissance 5 les puissances de J sont nulles.

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 11:24

Bonjour LeHibou,

Les termes en J1ixJ2n-i sont-ils intéressants ?

Posté par
LeHibou
re : algebre : matrices 28-08-08 à 11:49

Bonjour,

Le mieux est d'expliciter les termes non nuls :

Puissance 2 : J1² + 2 J1.J2 + J2²
Puissance 3 : J1^3 + 3 JI².J2 + 3 J1.J2² + J1^3 = 3 JI².J2 + 3 J1.J2²
Puissance 4 : J1^4 + 4 J1^3.J2 + 6 J1².J2² + 4J1.J2^3 + J2^4 = 6 J1².J2²
Puissance 5 : J1^5 + 5 J1^4.J2 + 10 J1^3.J2² + 10 J1².J2^3 + 5 J1.J2^3 + J1^5 = 0

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 11:57

J5 = 0 ???

Posté par
LeHibou
re : algebre : matrices 28-08-08 à 13:54

Oui parce que les matrices J1 et J2 sont à une puissance   2 d

Posté par
LeHibou
re : algebre : matrices 28-08-08 à 13:58

Désolé, je complète...

Oui parce que dans l'expression de J^5 les matrices J1 et J2 sont à une puissance 2 , or J1² = 0 et J2² = 0 et évidemment J1^n = 0 et J2^n = 0  pour tout n 2.

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:08

La multiplication pour les matrices est-elle commutative ?

Dans la méthode que je propose, on évite cet écueil en utilisant la matrice I.

Posté par
fusionfroide
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:23

Citation :
La multiplication pour les matrices est-elle commutative ?


Non, en général ...

Était-ce une question rhétorique ?

Posté par
LeHibou
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:25

Tu as raison, ce que j'ai fait est nul
Je vais reprendre ça autrement...

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:30

Soyons patient et voyons ce que nos échanges inspirent à anyone...

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:34

Bonjour fusionfroide,

merci pour ton intervention. Il s'agissait pour moi d'une question (rhétorique) qui indiquait la différence entre la méthode suggérée pas LeHibou et moi-même...

Posté par
lyonnais
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:34

Bonjour

La technique ici est bien d'utiliser le binôme de newton mais avec des matrices Nilpotentes ...

Donc on peut poser :  J = K + L  avec :

K= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}  et  L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Posté par
amatheur22
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:36

Bonjour

Remarquer que K^n=nK et utiliser le binome de Newton(ici c'est permis car KI=IK)

Posté par
lyonnais
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:36

On a :

K² = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

K3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

et :

L² = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

L3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Posté par
lyonnais
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:40

Réflexion faite, la méthode de ThierryMasula est celle attendue ...

Mes matrices ne vérifient pas K.L = L.K donc pas de binôme   Désolé

Posté par
apaugam
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:40

Cela ne marche pas car ces deux matrices ne commutent pas

Posté par
lyonnais
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:49

Une autre méthode est de calculer le polymôme caractéristique de J. On trouve :

PC(x) = -(x-2)(x+1)²

On regarde le SEP associé à la valeur propre -1. Il est de dimension 2 donc J est diagonalisable. Ainsi son polynôme minimal est :

PM(x) = (x-2)(x+1)

On fait alors la division euclidienne de Xn par ce polynôme minimal. On obtient :

Xn = PM(X).Q(X) + a.X + b

On injecte les valeur qui annule le PM ( ici 2 et -1 ). On obtient le système :

\{ 2^n = 2a + b \\ (-1)^n = -a+b  d'où :

\{a= \frac{1}{3}.[2^n-(-1)^n] \\ b = \frac{2}{3}.[2^{n-1}+(-1)^n]

Avec pour n >= 2 :

Jn = a.J + b.I3

Sauf erreurs ...

Posté par
apaugam
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:56

pour le polynome minimal pas besoin de polynome caracteristique . Il nous suffit d'ailleur d'un polynome annulateur
on calcule J^2=2I+J J annule donc le polynomeX^2-X-2

Posté par
amatheur22
re : algebre : matrices 28-08-08 à 14:57

Salut  lyonnais
La matrice dont je parle est celle définie par ThierryMasula( nos messages se sont croisés à 2 mn près)
pour la 2) un petit cacul donne A^3=-I   soit   A(-A^2)=I   d'où  A^{-1}=-A^2.

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 15:38

Finalement on aura fait le travail pour anyone,

C'est la formule de lyonnais qui est la plus proche de la solution me semble-t-il...
Peut-être que si on savait exactement ce qu'est I3.

Ma solution utilise la forme Jn=a.K+b.I

K et I sont les matrices qur j'ai défini précédement.
Pour a et b... voyons où cela mène anyone...

On a un peu oublié la question 2, quoique le polynôme demandé me semble aisé à identifier !

Posté par
ThierryMasula
re : algebre : matrices 28-08-08 à 15:58

Au temps pour moi,

je viens de comprendre l'écriture de lyonnais, sa solution est correcte !
Pour la question 2, amatheur22 donne le bon polynôme P(X)=X3+I et donc l'inverse de A est bien -A2.



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