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algèbre, solution d'équation

Posté par
quadrature
28-08-08 à 14:37

Bonjour,
je voudrais la marche à suivre pour trouver  les trois solutions de l'équation x^3 - 2 = 0?
Merci d'avance

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 28-08-08 à 14:47

Salut

x^3-2=0 donne \frac{x^3}{2}-1=0 soit \(\frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}\)^3=1

En posant Z=\frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}, on a : Z^3=1

Les solutions sont donc 1, j et j^2 avec j=exp{\frac{2i\pi}{3}}

Les solutions de l'équation initiale sont donc : x=2^{\frac{1}{3}}, x=2^{\frac{1}{3}}j et x=2^{\frac{1}{3}}j^2

Sauf erreurs.

Posté par
Mxx
re : algèbre, solution d'équation 28-08-08 à 14:53



   Bonjour :

tu résoud ton équation dans quel ensemble ?? .

** si  x est dans on a une solution à savoir :  x = 2^{\frac{1}{3}} .

** si  x est dans alors on a : 3 solutions .


  A+   Mxx .

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 28-08-08 à 15:03

Il a bien précisé qu'il voulait les trois solutions, donc on se place dans \bb{C}

Posté par
Mxx
re : algèbre, solution d'équation 28-08-08 à 15:43


  Bonjour scrogneugneu .  

  ** il faut tjs préciser l'ensemble où on travaille .

  ** dans on met z à la place de x je crois .

  
  A+   Mxx .

  

Posté par
quadrature
re : algèbre, solution d'équation 29-08-08 à 23:00

  Merci scrogneugneu pour la réponse, mais le j= e[sup][/sup]2ip/3 il vient d'où ...

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 29-08-08 à 23:10

Ce sont les racines troisième de l'unité.

Si tu ne vois pas, je referai la démo pour les trouver, mais pas avant 00h00

Posté par
quadrature
re : algèbre, solution d'équation 29-08-08 à 23:25

Merci, si c'est possible .

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 29-08-08 à 23:52

On cherche Z\in \bb{C} tel que Z^3=1

Z \in \bb{C} donc Z=\rho exp{i\theta}\theta=arg(Z)[2\pi] et \rho=\|Z\|

Z^3=1 donne donc : \rho^3exp{3i\theta}=1=exp{i0}

Donc \rho=1 car \rho \in \bb{R} et 3\theta=2k\pi avec k\in \bb{Z}

Donc \rho=1 et \theta=\frac{2k\pi}{3} avec k\in \bb{Z}

Si k=0, alors \theta=0

Si k=1, alors \theta=\frac{2\pi}{3}=j

Si k=2, alors \theta=\frac{4\pi}{3}=j^2

Si k=3, alors \theta=2\pi donc on revient au même point que pour k=0.

(En fait, si l'on note Z_k les solutions, on a Z_k=Z_k' si et seulement k-k' est un multiple relatif de n. C'est pour ça que l'on revient, au bout d'un moment, au même "endroit".)

Finalement, les solutions sont :

1,j et j^2

Sauf erreurs.

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 30-08-08 à 00:00

J'ai fait une erreur.

j\neq \frac{2\pi}{3}

On a plutôt j=exp{\frac{2i\pi}{3}}

Idem pour j^2=exp{\frac{4i\pi}{3}}

Désolé !

Tu peux aussi remarquer que X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 30-08-08 à 00:01

Alors j et j^2 sont les solutions de X^2+X+1=0

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 30-08-08 à 00:30

D'ailleurs, ça se généralise :

X^n-1=(X-1)\Bigprod_{k=1}^{n-1}(X-\w_k) où les \w_k sont les racines de l'unité.

Posté par
quadrature
Merci 30-08-08 à 01:42

Merci scrogneugneu c'est limpide maintenant

Posté par
scrogneugneu
re : algèbre, solution d'équation 30-08-08 à 12:36

De rien ^ ^



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