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intégrale, algèbre

Posté par
shigaraii 28-08-08 à 15:54

j'aiun DM à faire et j'ai plusieurs difficultés:

1- montrer que, si g est une fonction continue et positive sur[0,1], la fonction h définie sur [0,1] par
h(x)=2[x]integrale[/0][smb]racine[/g(t)]dt
Je dis que g est continue et positive, de meme pour racine de x je note f la fonction racine de g. Par la positivité de l'intégrale f est positive.
h(x)=2 F(x)-2F(0) de plus f étant continue (par compo sa primitive F est continue donc h est continue.

2-On définie sur l'intervalle [0,1] la suite de fonctions fn en posant
pour tout x appartenant à I fo(x)=1 fn(x)=2[x]integrale[/0] [smb]racine[/fn-1(t)]dt
calculer f1(x), f2(x), f3(x)
je trouve f1(x)=2x
f2(x)=(4[smb]racine[/2])/3x[sup][/3/2]
f3(x)=16/7 ([smb]racine[/([smb]racine[/2]/3])x[sup][/7/4]
Je dois me tromper car je ne vois pas pour la question suivante

3-montrer qu'il existe 2 suites de réels positifs an et bn telles que:
fn(x)=an x[sup][/bn]
donner une relation entre b(n+1) et bn En déduire la valeur de bn

Posté par
shigaraiire : intégrale, algèbre 28-08-08 à 15:55

désolé je n'arrive pas bien à utiliser les notations!!

Posté par
Matouille2bre : intégrale, algèbre 28-08-08 à 16:37

Bonjour shigaraii

1. \forall x \in [0,1], h(x) = 2 \int_0^x \sqrt{g(t)}dt

Puisque g \geq 0 sur [0,1], \sqrt{g} \geq 0 sur [0,1]
Par conséquent étant donné quex \geq 0, en utilisant la positibité de l'intégrale on a h(x) \geq 0

D'autre part \sqrt{g} est continue sur [0,1] (comme composée de fonctions continues) dont \sqrt{g} admet une primitive F sur [0,1]
Donc h(x) = 2(F(x)-F(0)
Donc h est dérivable sur [0,1], en particulier continue.

2.
f_1(x) = 2x
f_2(x) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} x^{\frac{3}{2}}
f_3(x) = \frac{16 2^{\frac{1}{4}}}{7\sqrt{3}} x^{\frac{7}{4}}

3 On raisonne par récurrence sur n \in \mathbb{N}:

pour n=0 :
f_0(x)=1 donc on pose a_0=1 et b_0=0

On suppose qu'il existe a_n et b_n \in \mathbb{R^+} tels que f_n(x) = a_n x^{b_n}
Alors f_{n+1}(x) = 2 \sqrt{a_n} \int_0^x x^{\frac{b_n}{2}}= \frac{4 \sqrt{a_n}}{b_n+2} x^{\frac{1}{2}b_n+1}

En posant a_{n+1}=\frac{4 \sqrt{a_n}}{b_n+2} \in \mathbb{R^^+}
Et b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n+1 \in \mathbb{R^+}
on obtient le résultat cherché
la récurrence est établie

En particulier (b_n) est une suite arithmético-géomètrique et on a
b_{n+1}-2 = \frac{1}{2}(b_n-2)
Donc b_n-2 = \frac{1}{2^n}(b_0-2)=\frac{-1}{2^{n-1}}
i.e b_n = \frac{-1}{2^{n-1}}+2

Posté par
shigaraiisuite 29-08-08 à 17:11

merci beaucoup.
Ensuite
4- Etablir
pour tout n supérieur à 1
2^nln [a][/n]=-somme (allant de k=1 jusqu'a n) de 2^k ln(1-2^-k)
on ne cherchera pas de formule explicite pour an.
Je ne sais jamais comment démarrer lorsque l'on me donne des formules.

de meme:
5- montrer pour tout x de I que
0<-ln(1-x)-x<x^2/(2(1-x))
en déduire
valeur absolue de-2^kln(1-2^-k)-1 <2^-k

donner alors un encadrement de ln an puis en déduire que ln an est équivalent à n/2^n lorsque n tend vers + l'infini

Posté par
Matouille2bre : intégrale, algèbre 29-08-08 à 22:28

Pour la question 4, on raisonne encore par récurrence en utilisant la relation entre a_n et a_{n+1} définie plus haut.

On note P_n la proposition : "2^{n} \ln(a_n) = - \bigsum_{k=1}^n 2^k \ln(1-\frac{1}{2^k})"

Montrons par récurrence sur n \in \amthbb{N^*} que P_n est vraie

Pour n=1:
2\ln(a_1)=2\ln(2)=-2 \ln(\frac{1}{2})==-2 \ln(1-\frac{1}{2})

Supposons l'assertion vraie au rang n
Alors en utilisant le fait que b_n = \frac{-1}{2^{n-1}}+2 et a_{n+1} = \frac{4}{b_n+2}\sqrt{a_n}=\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1}\sqrt{a_n}
2^{n+1}\ln(a_{n+1}) = 2^{n+1}\ln(\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}-1})+2^{n+1}\ln(\sqrt{a_n})=-2^{n+1}\ln(1-\frac{1}{2^{n+1}})+2^{n}\ln(a_n)=- \bigsum_{k=1}^{n+1} 2^k \ln(1-\frac{1}{2^k})

La récurrence est établie ...

Posté par
Matouille2bre : intégrale, algèbre 29-08-08 à 22:45

La question 5 est triviale, je te laisse quand même un peu chercher ...

Posté par
shigaraiire : intégrale, algèbre 31-08-08 à 11:09

merci beaucoup


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