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Niveau Maths sup
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polynômes et ensemble de définition d'une suite de fonctions

Posté par
matrix001
29-08-08 à 17:04

Salut , voici un exercice sur lequel nous sommes restés bloqués.
on nous donne une suite (fn)nde fonctions définies par fn(x)=0  cos(nt)dt/(1 - x cos t)

Dans un premier temps, il faut trouver l'ensemble de définitions D, on a trouvé qu'il comprenait l'intervalle [-1;1] cependant on a un problème pour justifier le fait que D= ce qui nous paraitrait normal vu la suite de l'exercice avec l'introduction des polynômes.

Puis on ns demande d'établir : k*,(a0,k,a1,k,...,ak,k)k+1 tel que t, coskt=(p=0 à k)ap,k cos(pt)

On a commencé par linéariser cosk t avec les exponentielles puis on a utilisé le binôme de Newton mais nous sommes bloqués à ce stade : 1/2k(p=0 à k)(p parmi k)exp(ipt) et nous ne trouvons pas l'astuce pour retomber sur cos(pt)

Merci d'avance de votre aide

Posté par
raymond Correcteur
polynômes et ensemble de définition d'une suite de fonctions 29-08-08 à 17:29

Bonjour.

Le domaine de définition est ] -1 ; 1 [

Posté par
matrix001
re : polynômes et ensemble de définition d'une suite de fonction 29-08-08 à 17:47

D'accord merci beaucoup,on s'était trompé en recopiant l'intervalle.ça nous évitera de nous entêter pour prouver que D=.
Et pour les polynômes qu'en pensez vous ?

Posté par
raymond Correcteur
re : polynômes et ensemble de définition d'une suite de fonction 29-08-08 à 18:00

Je verrais bien une récurrence sur k.

Posté par
Matouille2b
re : polynômes et ensemble de définition d'une suite de fonction 29-08-08 à 21:06

Bonsoir

Pour k \in N^*, on note P_k : \exists (a_{0,k}, ... a_{k,k}) \in \mathbb{R^{k+1}}; \forall t \in \mathbb{R}, \cos^k(t) = \bigsum_{p=0}^k a_{p,k} \cos(pt)

On raisonne par récurrence sur k \in N^*

pour k=1 :
en posant a_{0,1}=0 et a_{1,1}=1 ,on obtient l'égalité recherchée

Supposon l'assertion vraie au rang k
Alors \cos^{k+1}(t) = \cos(t) \bigsum_{p=0}^k a_{p,k} \cos(pt)= \bigsum_{p=0}^k a_{p,k}\cos(t) \cos(pt)
Or \forall p \in \{1,..,k\}, \cos(t) \cos(pt) = \frac{1}{2}(\cos((p+1)t)+\cos((p-1)t)

Donc \cos^{k+1}(t) = a_{0,k} \cos(t) + \frac{1}{2} \bigsum_{p=1}^k a_{p,k} \cos((p+1)t) + \frac{1}{2} \bigsum_{p=1}^k a_{p,k} \cos((p-1)t)

\cos^{k+1}(t) = a_{0,k} \cos(t) + \frac{1}{2} \bigsum_{p=2}^{k+1} a_{p-1,k} \cos(pt) + \frac{1}{2} \bigsum_{p=0}^{k-1} a_{p+1,k} \cos(pt)

\cos^{k+1}(t) = \frac{1}{2} a_{1,k}+ (a_{0,k}+ \frac{1}{2} a_{2,k}) \cos(t) + \frac{1}{2} \bigsum_{p=2}^{k-1} (a_{p-1,k}+a_{p+1,k}) \cos(pt) + \frac{1}{2} a_{k-1,k} \cos(kt) + \frac{1}{2} a_{k,k} \cos((k+1)t)

En posant :
a_{0,k+1}=\frac{1}{2} a_{1,k}
a_{1,k+1}=a_{0,k}+ \frac{1}{2} a_{2,k}
\forall p \in \{2,..,k-1\}, a_{p,k+1}=\frac{1}{2} (a_{p-1,k}+a_{p+1,k})
a_{k,k+1}=\frac{1}{2} a_{k-1,k}
a_{k+1,k+1}=\frac{1}{2} a_{k,k}
La récurrence est alors établie ...

Posté par
matrix001
re : polynômes et ensemble de définition d'une suite de fonction 29-08-08 à 22:04


merci beaucoup à raymond de nous avoir mis sur la voie, on a réussi à bien s'en tirer et merci à matouille2b de nous permettre de vérifier nos erreurs potentielles



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