Bonjour, j'ai un exercice corrigé de résolution d'équation: voici cette équation
Arctan(2x) + Arctan (3x) = /4
Or dans la correction, on passe par la tangente pour trouver la solution, en commencent par poser comme équivalent à cette équation le systeme:
tan(Arctan(2x) + Arctan(3x)) = tan (/4) ---> logique
et
Arctan(2x) + Arctan(3x) ]-/2 ; /2[ ---> et c'est là que je ne comprends pas, car sachant que Arctan est définie sur à valeurs dans ]-/2 ; /2[, Arctan(X) + Arctan(Y) devrait appartenir à l'ensemble ]- ; [, non?
je comprends ensuite toute la suite de la résolution, qui est seulement un exemple et simple dans l'ensemble.
Merci d'avance pour votre aide.
bonjour, je pense que tu vas chercher trop loin.On te dit que arctan(2x)+arctan(3x) ]-/2;/2[ simplement car selon l'énoncé,c'est égal à /4 qui appartient à cet intervalle.
Bonjour
Arctan(2x) + Arctan (3x) ]-pi/2 , pi/2[ tout simplement parce que ça vaut pi/4 d'après l'énoncé
en effet, vu comme ça… ^^ ! merci c'était tout bête…
Mais si l'on avait eu Arctan(2x) + Arctan (3x) = pi par exemple, on aurait alors du choisir pour équivalence
tan [Arctan(2x) + Arctan (3x)] = tan(pi)
et
Arctan(2x) + Arctan (3x) ]pi/2 ; 3pi/2] non?
car il faut que la fonction tangente soit injective sur cet intervalle afin de pouvoir poser l'équivalence?
et enfin, si l'on avait eu
Arctan(2x) + Arctan (3x) = pi/2, quelle méthode aurait-on pu utiliser car on ne peut pas parler de tan(pi/2)??
Salut
La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle
Donc on a toujours :
D'autre part,
Donc est bien défini.
En fait çà sert seulement à savoir si est bien défini.
A moins que je n'ai pas compris
Oui c'est ça, mais en fait le fait que dans la correction de mon exo il y ait écrit que l'expression appartient ) ]-pi/2, pi/2] c'est afin que la relation posée entre le système et l'équation de départ soit une équivalence. En effet l'implication était évidente mais pour qu'il y ait équivalence il faut que tanc(arctan(2x) + arctan(3x)) = tan (pi/4) arctan(2x) + arctan(3x) = pi/4 soit que tan soit injective sur l'ensemble considéré, c'est pour cela qu'on choisit ]-pi/2, pi/2] !
Mais les réponses que j'esperais ont été apportées à mes questions, j'espere que quelqu'un comprendra mes interrogations quant à celles qui ont suivie!
Ok, ça marche ^^
Sinon, pour ta dernière question, j'ai pensé à ceci :
Réciproquement, est bien solution d'après maple, et c'est la seule.
Une étude de fonction devrait permettre de montrer qu'il n'y en a effectivement qu'une.
Reste à voir pourquoi l'autre n'est pas solution...
Sauf erreurs.
En fait, pas besoin d'étude de fonctions.
On a trouvé
Notons et
Supposons que et soit solution.
Alors
D'où (car arctan est impair)
Contradiction.
Donc soit est solution, soit c'est .
Ou j'ai perdu toute aptitude mathématique, ou j'ai raté quelque chose ^^ mais je ne comprends pas la premiere implication, pour passer de l'Arctan au rationnel?
d'accord!
mais avec l'implication, on sait a le choix entre ces deux solutions, une seule convient, ok. Mais comment etre sur qu'il n'y en a pas d'autres ? Car au final on a juste résolu l'égalité de dérivées… ?
Re,
Justement, par une étude de fonction tu montres qu'il n'y a qu'une solution.
Enfin, n'oublie pas que P implique Q signifie entre autres que Q est une condition nécessaire de P
Merci, pour ce forum, j'avais justement le même problème, car on l'utilise souvent en automatique lors du calcul de la marge de phase ou de gain.
Mais j'ai un cas où l'inconnue se trouve sous le signe arctan et en dehors:
-2X.180/ - arctan(2x) - artctan(4x) = -180
On ne sait pas situer le domaine, ni utiliser la dérivation. Est-ce que quelqu'un sait m'aider?
Merci
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