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Niveau Maths sup
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Résolution d'équation avec Arctan

Posté par
theunknownman001
29-08-08 à 17:44

Bonjour, j'ai un exercice corrigé de résolution d'équation: voici cette équation

Arctan(2x) + Arctan (3x) = /4

Or dans la correction, on passe par la tangente pour trouver la solution, en commencent par poser comme équivalent à cette équation le systeme:

tan(Arctan(2x) + Arctan(3x)) = tan (/4) ---> logique
et
Arctan(2x) + Arctan(3x) ]-/2 ; /2[  ---> et c'est là que je ne comprends pas, car sachant que Arctan est définie sur à valeurs dans ]-/2 ; /2[, Arctan(X) + Arctan(Y) devrait appartenir à l'ensemble ]- ; [, non?

je comprends ensuite toute la suite de la résolution, qui est seulement un exemple et simple dans l'ensemble.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
matrix001
proposition 29-08-08 à 17:57

bonjour, je pense que tu vas chercher trop loin.On te dit que arctan(2x)+arctan(3x) ]-/2;/2[ simplement car selon l'énoncé,c'est égal à /4 qui appartient à cet intervalle.

Posté par
lyonnais
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 18:01

Bonjour

Arctan(2x) + Arctan (3x) ]-pi/2 , pi/2[ tout simplement parce que ça vaut pi/4 d'après l'énoncé

Posté par
theunknownman001
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 18:55

en effet, vu comme ça… ^^ ! merci c'était tout bête…
Mais si l'on avait eu Arctan(2x) + Arctan (3x) = pi par exemple, on aurait alors du choisir pour équivalence
tan [Arctan(2x) + Arctan (3x)] = tan(pi)
et
Arctan(2x) + Arctan (3x) ]pi/2 ; 3pi/2] non?
car il faut que la fonction tangente soit injective sur cet intervalle afin de pouvoir poser l'équivalence?

et enfin, si l'on avait eu
Arctan(2x) + Arctan (3x) = pi/2, quelle méthode aurait-on pu utiliser car on ne peut pas parler de tan(pi/2)??

Posté par
scrogneugneu
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 19:42

Salut

La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle \]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\[

Donc on a toujours : \forall x \in \bb{R}, tan(arctan(x))=x

D'autre part, artan(2x)+arctan(3x) \in \]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\[

Donc tan(artan(2x)+arctan(3x)) est bien défini.

En fait çà sert seulement à savoir si tan(artan(2x)+arctan(3x)) est bien défini.

A moins que je n'ai pas compris

Posté par
theunknownman001
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 19:47

Oui c'est ça, mais en fait le fait que dans la correction de mon exo il y ait écrit que l'expression appartient ) ]-pi/2, pi/2] c'est afin que la relation posée entre le système et l'équation de départ soit une équivalence. En effet l'implication était évidente mais pour qu'il y ait équivalence il faut que tanc(arctan(2x) + arctan(3x)) = tan (pi/4) arctan(2x) + arctan(3x) = pi/4 soit que tan soit injective sur l'ensemble considéré, c'est pour cela qu'on choisit ]-pi/2, pi/2] !
Mais les réponses que j'esperais ont été apportées à mes questions, j'espere que quelqu'un comprendra mes interrogations quant à celles qui ont suivie!

Posté par
scrogneugneu
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 20:01

Ok, ça marche ^^

Sinon, pour ta dernière question, j'ai pensé à ceci :

arctan(2x)+arctan(3x)=\frac{\pi}{2} \Longrightarrow 5\frac{1+6x^2}{(1+4x^2)(1+9x^2)}=0 \Longrightarrow x=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}

Réciproquement, x=\frac{\sqrt{6}}{6} est bien solution d'après maple, et c'est la seule.

Une étude de fonction devrait permettre de montrer qu'il n'y en a effectivement qu'une.

Reste à voir pourquoi l'autre n'est pas solution...

Sauf erreurs.

Posté par
scrogneugneu
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 20:08

En fait, pas besoin d'étude de fonctions.

On a trouvé x=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}

Notons x_0=\frac{\sqrt{6}}{6} et x_1=-\frac{\sqrt{6}}{6}=-x_0

Supposons que x_0 et x_1 soit solution.

Alors arctan(2x_1)+arctan(3x_1)=\frac{\pi}{2}

D'où arctan(2x_0)+arctan(3x_0)=-\frac{\pi}{2} (car arctan est impair)

Contradiction.

Donc soit x_0 est solution, soit c'est x_1.

Posté par
scrogneugneu
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 20:11

Tout compte fait, une étude de fonction permet de savoir si la solution est positive ou négative.

Résolution d\'équation avec Arctan

Posté par
theunknownman001
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 20:29

Ou j'ai perdu toute aptitude mathématique, ou j'ai raté quelque chose ^^ mais je ne comprends pas la premiere implication, pour passer de l'Arctan au rationnel?

Posté par
lyonnais
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 20:36

Dérivation ...

Posté par
lyonnais
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 20:38

Sachant que  (ArcTan)'(x) = 1/(1+x²)

Posté par
theunknownman001
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 21:15

d'accord!
mais avec l'implication, on sait a le choix entre ces deux solutions, une seule convient, ok. Mais comment etre sur qu'il n'y en a pas d'autres ? Car au final on a juste résolu l'égalité de dérivées… ?

Posté par
scrogneugneu
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 23:13

Re,

Justement, par une étude de fonction tu montres qu'il n'y a qu'une solution.

Enfin, n'oublie pas que P implique Q signifie entre autres que Q est une condition nécessaire de P

Posté par
scrogneugneu
re : Résolution d'équation avec Arctan 29-08-08 à 23:26

Ou alors : pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie.

Posté par
theunknownman001
re : Résolution d'équation avec Arctan 30-08-08 à 13:21

D'accord, merci beaucoup!

Posté par
don8
re : Résolution d'équation avec Arctan 14-08-15 à 20:24

Merci, pour ce forum, j'avais justement le même problème, car on l'utilise souvent en automatique lors du calcul de la marge de phase ou de gain.
Mais j'ai un cas où l'inconnue se trouve sous le signe arctan et en dehors:

-2X.180/ - arctan(2x) - artctan(4x) = -180

On ne sait pas situer le domaine, ni utiliser la dérivation. Est-ce que quelqu'un sait m'aider?

Merci



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