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Un problème de probabilités

Posté par
cepamoi
30-08-08 à 10:52

Bonjour.

Voici un problème - sans doute assez classique - de probabilités.

On a une urne contenant N boules : n boules noires et N-n boules blanches. On tire sans remise une boule. Si la boule est noire, on s'arrête ; si la boule est blanche, on tire de nouveau, jusqu'à tirer une boule noire.

En moyenne, combien de tirages faut-il pour trouver une boule noire ?

Si maintenant on ne s'autorise que M tirages au maximum (on s'arrête de tirer des boules si le nombre de tirages vaut M, même si on n'a pas trouvé de boule noire), quelle est la probabilité de trouver une boule noire ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
Matouille2b
re : Un problème de probabilités 30-08-08 à 13:47

Bonjour

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de tirages qu'il faut pour trouver une boule noire

On cherche à calculer E(X) (i.e le nombre moyen de tirages qu'il faut pour trouver une boule noire)

Pour cela il faut déterminer la loi de probabilité de X

On a X \in \{1,...,N-n\}

On note :
B_i : "obtenir une boule blanche au i-ème tirage"
N_i : "obtenir une boule noire au i-ème tirage"

On a :
p(N_1) = \frac{n}{N} et p(B_1) = 1 - \frac{n}{N}

\forall i \in \{1,...,N-n\}, p(N_{i+1}/B_i)=\frac{n}{N-i} et p(B_{i+1}/B_i)=\frac{N-n-i}{N-i}

Donc p(X=1)=p(N_1)=\frac{n}{N}
Et \forall i \in \{2,...,N-n\}, p(X=i) = p(N_{i}/B_{i-1}) \times p(B_{i-1}/B_{i-2}) \times ... \times p(B_{2}/B_1) \times p(B_1) = \frac{n}{N-i+1} \times \frac{N-n-i+2}{N-i+2} \times ... \times \frac{N-n-1}{N-1} \times \frac{N-n}{N}
p(X=i) =\frac{n A_{N-n}^{i-1}}{A_N^i}

Donc E(X) = \frac{n}{N}+ \bigsum_{i=2}^{N-n} i \frac{n A_{N-n}^{i-1}}{A_N^i}=\frac{n}{N}+ \bigsum_{i=2}^{N-n} i \frac{n(i-1)! C_{N-n}^{i-1}}{i! C_N^i}=\frac{n}{N}+ n \bigsum_{i=2}^{N-n}\frac{C_{N-n}^{i-1}}{C_N^i}

Posté par
cepamoi
re : Un problème de probabilités 30-08-08 à 22:55

Merci pour cette brillante démonstration !

Posté par
veleda
re : Un problème de probabilités 30-08-08 à 23:15

bonsoir,
j'ai une autre expression pour E(X)
E(X)=\frac{1}{N\choose n}\bigsum_{k=1}^{N-n}k{N-k}\choose{n-1} si je ne me suis pas trompée

Posté par
cepamoi
re : Un problème de probabilités 31-08-08 à 00:18

Bonsoir.

En poussant plus loin le calcul de Matouille2b, je retombe en effet sur l'expression de veleda.

Merci à tous les deux !



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