Un problème de probabilités

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Un problème de probabilités

Posté le 30-08-08 à 10:52

Posté par cepamoi

Bonjour.

Voici un problème - sans doute assez classique - de probabilités.

On a une urne contenant N boules : n boules noires et N-n boules blanches. On tire sans remise une boule. Si la boule est noire, on s'arrête ; si la boule est blanche, on tire de nouveau, jusqu'à tirer une boule noire.

En moyenne, combien de tirages faut-il pour trouver une boule noire ?

Si maintenant on ne s'autorise que M tirages au maximum (on s'arrête de tirer des boules si le nombre de tirages vaut M, même si on n'a pas trouvé de boule noire), quelle est la probabilité de trouver une boule noire ?

Merci d'avance pour vos réponses.

re : Un problème de probabilités

Posté le 30-08-08 à 13:47

Posté par Matouille2b

Bonjour

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de tirages qu'il faut pour trouver une boule noire

On cherche à calculer E(X) (i.e le nombre moyen de tirages qu'il faut pour trouver une boule noire)

Pour cela il faut déterminer la loi de probabilité de X

On a $X \in \{1,...,N-n\}$

On note :
$B_i$ : "obtenir une boule blanche au i-ème tirage"
$N_i$ : "obtenir une boule noire au i-ème tirage"

On a :
$p(N_1) = \frac{n}{N}$ et $p(B_1) = 1 - \frac{n}{N}$

$\forall i \in \{1,...,N-n\}, p(N_{i+1}/B_i)=\frac{n}{N-i}$ et $p(B_{i+1}/B_i)=\frac{N-n-i}{N-i}$

Donc $p(X=1)=p(N_1)=\frac{n}{N}$
Et $\forall i \in \{2,...,N-n\}, p(X=i) = p(N_{i}/B_{i-1}) \times p(B_{i-1}/B_{i-2}) \times ... \times p(B_{2}/B_1) \times p(B_1) = \frac{n}{N-i+1} \times \frac{N-n-i+2}{N-i+2} \times ... \times \frac{N-n-1}{N-1} \times \frac{N-n}{N}$
$p(X=i) =\frac{n A_{N-n}^{i-1}}{A_N^i}$

Donc $E(X) = \frac{n}{N}+ \bigsum_{i=2}^{N-n} i \frac{n A_{N-n}^{i-1}}{A_N^i}=\frac{n}{N}+ \bigsum_{i=2}^{N-n} i \frac{n(i-1)! C_{N-n}^{i-1}}{i! C_N^i}=\frac{n}{N}+ n \bigsum_{i=2}^{N-n}\frac{C_{N-n}^{i-1}}{C_N^i}$

re : Un problème de probabilités

Posté le 30-08-08 à 22:55

Posté par cepamoi

Merci pour cette brillante démonstration !

re : Un problème de probabilités

Posté le 30-08-08 à 23:15

Posté par veleda

bonsoir,
j'ai une autre expression pour E(X)
E(X)= $\frac{1}{N\choose n}\bigsum_{k=1}^{N-n}k$ ${N-k}\choose{n-1}$ si je ne me suis pas trompée

re : Un problème de probabilités

Posté le 31-08-08 à 00:18

Posté par cepamoi

Bonsoir.

En poussant plus loin le calcul de Matouille2b, je retombe en effet sur l'expression de veleda.

Merci à tous les deux !

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