Périodicité, fonctions entières.
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Périodicité, fonctions entières.
Posté le 31-08-08 à 18:08
Posté par 
Nightmare Nightmare 
Bonjour à tous
Voila un exercice sur lequel je bute partiellement :
Ma première idée est d'aller chercher du côté du sinus, j'ai trouvé que si a et b sont
-colinéaire, en notant x et y tels que ax=by, la fonction )
convient.
j'en déduis donc que tout va se jouer sur la liberté de (a,b) dans R.
Si (a,b) est
-lié mais -libre : On considère l'ensemble \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\})
. C'est une partie dense d'une droite. f est constante sur cet ensemble et donc sur la droite puisqu'elle est continue. Comme f est holomorphe elle est analytique donc on peut lui appliquer le principe des zéros isolés pour en conclure qu'elle est constante sur C tout entier. Ok.
Maintenant je n'ai aucune idée de la façon dont procéder si (a,b) est-libre 
Une idée?
Merci
Jord
Nightmare Nightmare Bonjour à tous
Voila un exercice sur lequel je bute partiellement :
Citation :
Déterminer les conditions sur\in \mathbb{C}*\times\mathbb{C}*)
pour qu'il existe une fonction entière f de période a et b, quelles sont-elles ?
Déterminer les conditions sur
Ma première idée est d'aller chercher du côté du sinus, j'ai trouvé que si a et b sont
j'en déduis donc que tout va se jouer sur la liberté de (a,b) dans R.
Si (a,b) est
Maintenant je n'ai aucune idée de la façon dont procéder si (a,b) est
Une idée?
Merci
Jord
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 18:37
Posté le 31-08-08 à 18:37Posté par otto otto
Alors c'est impossible:
f est bornée sur un treillis, par double périodicité f est bornée sur C et f est donc constante par le théorème de Liouville.
Tu dois vouloir avoir une fonction méromorphe alors et non plus entière.
Dans ce cas, a et b non R-lié fonctionne.
otto ottoAlors c'est impossible:
f est bornée sur un treillis, par double périodicité f est bornée sur C et f est donc constante par le théorème de Liouville.
Tu dois vouloir avoir une fonction méromorphe alors et non plus entière.
Dans ce cas, a et b non R-lié fonctionne.
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 18:41
Posté le 31-08-08 à 18:41Posté par otto otto
Sinon je pense que le fait que l'ensemble des périodes soit un groupe peut t'aider si je ne dis pas de bétise.
En particulier on peut supposer que a et b sont réels pour arriver à la contradiction que tu cherches.
otto ottoSinon je pense que le fait que l'ensemble des périodes soit un groupe peut t'aider si je ne dis pas de bétise.
En particulier on peut supposer que a et b sont réels pour arriver à la contradiction que tu cherches.
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 18:42
Posté le 31-08-08 à 18:42Posté par otto otto
f non constante, sinon ca n'a aucun interet évidemment, a et b peuvent être quelconques dans ce cas.
otto ottof non constante, sinon ca n'a aucun interet évidemment, a et b peuvent être quelconques dans ce cas.
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 18:53
Posté le 31-08-08 à 18:53Posté par Nightmare Nightmare
Pour la solution dans le cas (a,b) Q-libre, je précise :
x et y sont des entiers et la solution est=sin(2\pi \times \frac{xy}{ax}z))
On a=sin(2\pi \times \frac{xy}{ax}z+2\pi \times \frac{xy}{ax}a)=sin(2\pi \times \frac{xy}{ax}z+2\pi)=f(z))
et même chose pour b.
De plus f est bien holomorphe sur C donc elle convient.
Nightmare Nightmare Pour la solution dans le cas (a,b) Q-libre, je précise :
x et y sont des entiers et la solution est
On a
De plus f est bien holomorphe sur C donc elle convient.
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 18:54
Posté le 31-08-08 à 18:54Posté par otto otto
De plus f est bien holomorphe sur C donc elle convient.
Bein voyons, une fonction holomorphe sur C et bornée, Liouville se retournerait dans sa tombe (Cauchy en fait puisque le théorème lui est du je crois...)
otto ottoDe plus f est bien holomorphe sur C donc elle convient.
Bein voyons, une fonction holomorphe sur C et bornée, Liouville se retournerait dans sa tombe (Cauchy en fait puisque le théorème lui est du je crois...)
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 19:01
Posté le 31-08-08 à 19:01Posté par otto otto
Aurais-je parlé trop vite ?
Si on met de coté le cas que tu annonces parce que je me suis enteté, la complétion du résultat est ce que j'annonce.
J'utilisais Liouville parce que je raisonnais en 2 dimension avec un parallelogramme.
Tu dois avoir raison mais ce n'est pas le cas le plus intéressant
otto ottoAurais-je parlé trop vite ?
Si on met de coté le cas que tu annonces parce que je me suis enteté, la complétion du résultat est ce que j'annonce.
J'utilisais Liouville parce que je raisonnais en 2 dimension avec un parallelogramme.
Tu dois avoir raison mais ce n'est pas le cas le plus intéressant
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 19:04
Posté le 31-08-08 à 19:04Posté par Nightmare Nightmare
Ok, effectivement c'est ce que j'attendais pour le cas (a,b) R-libre, tu parles de treillis, je pense que tu faisais allusion à [0,1]a+[0,1]b ?
Nightmare Nightmare Ok, effectivement c'est ce que j'attendais pour le cas (a,b) R-libre, tu parles de treillis, je pense que tu faisais allusion à [0,1]a+[0,1]b ?
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 19:05
Posté le 31-08-08 à 19:05Posté par otto otto
Et dans ce cas, tu dois pouvoir utiliser le fait que l'ensemble des périodes est un groupe.
Ton exemple est en fait trivial, ca aurait du me sauter aux yeux, tu ne fais rien d'autre que de prendre plusieurs fois la même période en quelque sorte.
Mille excuse Jord, ma fougue m'a une fois de plus joué un tour
a+
otto ottoEt dans ce cas, tu dois pouvoir utiliser le fait que l'ensemble des périodes est un groupe.
Ton exemple est en fait trivial, ca aurait du me sauter aux yeux, tu ne fais rien d'autre que de prendre plusieurs fois la même période en quelque sorte.
Mille excuse Jord, ma fougue m'a une fois de plus joué un tour
a+
re : Périodicité, fonctions entières. Posté le 31-08-08 à 19:06
Posté le 31-08-08 à 19:06Posté par otto otto
Je fais référence au parallelograme de sommet
w
w+a
w+b
w+a+b
pour un w quelconque.
otto ottoJe fais référence au parallelograme de sommet
w
w+a
w+b
w+a+b
pour un w quelconque.
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