[Goemetrie] niveau Maths Sup

Posté par Paulep Paulep

Bonjour, je ne vois pas comment résoudre cet excercice. Pouvez vous me donner une piste pour le résoudre?

Enonce:

ABC triangle rectangle en A; K le point de contact du cercle inscrit du traingle sur le coté BC.
Montrer que l'aire du triangle vaut A=KC*KB.

Merci pour votre aide.

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Voilà ce que je te propose.

Appelons O le centre du cercle inscrit, I, J et K les projetés orthogonaux de O sur (AB), (AC), (BC) et r le rayon de ce cercle.

On sait que O est le point de rencontre des trois bissectrices intérieures du triangle (ABC).

1°) Appelons b la mesure de l'anble (BO,BK) et c la mesure de l'angle (CO,CK).

alors, b + c = .

Donc : .

On en déduit que : KB.KC = r(r + KB + KC)


2°) Ajoutons quelques aires. Rappelons que CK = CJ, AI = AJ, BK = BI.

(ABC) = (OBC) + (OBA) + (OCA)

2.(OBC) = r.KC + r.KB

2.(OAB) = r.KB + 2.(OAI)

2.(OAC) = r.KC + 2.(OAJ)

Mais, (OAI) + (OAJ) = r².

Donc :

(ABC) = r(r + KB + KC)

En rapprochant 1°) et 2°) :

(ABC) = KB.KC

Je ne connaissais pas ce résultat. Peut-être existe-t-il une méthode moins lourde que celle que je te poste ?

Posté par Paulep Paulep

Peut-etre, je la mettrais en ligne dès que j'aurais la correction.
Merci en tout cas.
ps= dès qu'on a la solution et qu'on y regarde de plus pres en géometrie on se dit: "mais pourquoi n'y ai-je pas penser? "

Posté par veleda veleda

bonsoir Raymond et Paulep
ma méthode est légèrement différente
2S=AB.AC=(KB+r)(KC+r)=KB.KC+rBC+r²=KB.KC+S=>KB.KC=S en utilisant que S=r(BC)+r² (résultat 2° de Raymond)
bonne soirée