Espace Vectoriel

Posté par Liso0oX Liso0oX

Bonjour !

C'est bientôt la rentrée et j'ai un DM à faire pour jeudi. Il ne me reste plus qu'un exercice sur les espaces vectoriels. Le voici :

Dans ³, on considère les vecteurs u=(2,1,0) v=(-1,0,1) et w=(4,1,-2)
1) La famille (u, v, w) est-elle une famille libre de ³? Une famille generatrice de ³?
2) Soit F le sous espace vectoriel de ³ engendré par (u, v, w). Determiner une base et la dimension.
3) Soit G={(0, a+b, -b), a et b réels}. Montrer que G est un sev de ³. En determiner une base et la dimension.
4) Determiner une base et la dimension de FG.
5) F+G designe l'ev des vecteurs qui s'ecrivent comme somme d'un vecteur d F et d'un vecteur de G. Montrer que F+G admet une base de 3 vecteurs. Que peut on deduire pour F+G ?
6) Determiner les coordonnées des vecteurs de la base canonique de ³ dans la base de F+G touvé à la question precedente.

J'arrive à fair la question 1. Mais la question 2 me pose un problème. Je ne trouve plus la méthode dans mes cours... Ensuite même problème pour la question 3, je sais montrer que c'est un sev mais pour la base =S.

Voilà, si vous pouviez déjà m'aider à avancer...
Merci d'avance.

Elise.

Posté par apaugam apaugam

la réponse à 2 est dans le texte.
(u, v, w)est libre et generatrice donc par definition une base.
pour 3
G={(0, a+b, -b), a et b réels}
pour essayer de trouver des generateurs de G il faut regarder de combien de preametre depend un element de G et mettre en "facteur" ces parametres
            (0, a+b, -b)=a.......+b........
concretement           =a(0,1,0)+b(0,1,-1)
ensuite il reste à verifier que les deux verteurs obtenus forment une famille libre
si a(0,1,0)+b(0,1,-1)=0 alors a=b=0

Posté par Liso0oX Liso0oX

Justement, le soucis c'est que je trouve que (u, v, w) n'est pas une famille libre...
Je resout le systeme
2₁ - ₂ + 4₃ = 0
₁ + ₃ = 0
₂ - 2₃ = 0
Et j'arrive au resultat ₁, ₂, ₃ 0.

Est-ce une erreur de ma part ? J'ai pourtant re verifié...

Merci beaucoup !

Posté par apaugam apaugam

excuse moi j'ai lu trop vite la question 1 (j'avais lu "montrer que")
effectivement tu trouve

et

c'est-à-dire pour tout

on en déduit
w=u-2v
u et v suffisent pour engendrer F
et en plus ils forment une famille libre donc une base de F

Posté par Liso0oX Liso0oX

Merci beaucoup !
C'est plus clair comme ça !