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Racine carrée d'une matrice

   
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maths supRacine carrée d'une matrice

#msg1964675 Posté le 02-09-08 à 16:14
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Bonjour

Une toute petite question:

Soit 3$A\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})

Comment montrer que 3$\sqrt{A} est un polynôme en 3$ A?

Merci
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964686 Posté le 02-09-08 à 16:30
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

salut monrow

Il faut commencer par diagonaliser ta matrice et ensuite tu bidouilles.

Kaiser
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964697 Posté le 02-09-08 à 16:37
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Salut Kaiser !

Oui j'ai bien essayé, on travaille avec des matrices symétriques réelles donc elles sont diagonalisables (thm spectral).

On a alors: 3$ A=PD^tP et 3$ \sqrt{A}=PD_1 ^tP avec 3$ D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n) et 3$ D_1=diag(\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_n})

Si j'arrive à montrer que 3$ D_1 est un polynôme en 3$ D, ça sera parfait.


En effet, Si 3$ Q(D)=D_1 alors : 3$ Q(A)=Q(PD^tP)=PQ(D)^tP=PD_1 ^tP=\sqrt{A}

Une petite piste?
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964699 Posté le 02-09-08 à 16:39
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Que vérifie ce polynôme vis à vis de ces valeurs propres (en termes d'égalité) ?

Kaiser
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964706 Posté le 02-09-08 à 16:47
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

3$ Q(\mu_i)=\sqrt{\mu_i} si je note 3$ sp(A)=\{\mu_1,...,\mu_r\}
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964708 Posté le 02-09-08 à 16:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Alors, en un mot, pourquoi un tel polynôme existe-t-il ?

Kaiser
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964710 Posté le 02-09-08 à 16:53
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Je comprends mieux, on prend alors Q le polynôme d'interpolation de Lagrange pour les valeurs 3$ \(\sqrt{\mu_1},...,\sqrt{\mu_r}\) en les points 3$\(\mu_1,...,\mu_r\),

c'est ça?
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964713 Posté le 02-09-08 à 16:55
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

toutafé.

Kaiser
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964715 Posté le 02-09-08 à 16:58
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes



Merci Kaiser !
re : Racine carrée d'une matrice#msg1964719 Posté le 02-09-08 à 16:59
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Mais je t'en prie !

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