problème lancer de dé, prépa ECS

Posté par blanchecolombe blanchecolombe

bonjour, j'ai un problème de proba, je bloque à un moment. VOici l'énoncé :

nN, 2n
On fait une suite de lancers d'un dé, on s'arrête lorsque l'on obtient un numéro supérieur ou égal au numéro précédent.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués.

a) Quelles sont les valeurs prises par X ?

A cette question j'ai répondu X( Ω ) =[2,7]

b) Calculer p(X=1) et P(X=2)

J'ai répondu p(X=1)=0 et P(X=2) = card(X=2) / card( Ω ) = 6+5+4+3+2+1 / 36 = 21/36
Je ne suis pas sûre que ce soit juste, mais je ne vois pas comment le faire autrement. Comment justifier plus le 21 ?

c) kN*  Calculer p(X > k).
Je bloque à cette question. J'ai essayé de faire p(X > k)= card( Ω ) - card(X=k) / card( Ω ) mais je n'arrive pas à calculer card(X=k), et je ne comprends pas vraiment ce que cela représente. pour card( Ω ), j'ai trouvé 6^k mais là aussi je doute.

Je n'ai du coup pas réussi à faire les questions suivantes. ( Loi de X, etc )

Quelqu'un peut-il m'expliquer pour me débloquer ? Merci !

Posté par apaugam apaugam

l'evenement X=2 est union disjointe des evenements X=2 et premier tirage=i pour i variant de 1 à 6
si l'on note la variable aleatoire donnant le resultat du ieme tirage

On retrouve ton resultat

Pour la question suivante c'est la probabilité d'obtenir k premiers tirages strictement décroissant
On peut donc s'interesser uniquement aux k premiers tirages et alors card(Ω )= 6^k  

Posté par blanchecolombe blanchecolombe

Merci beaucoup, je pense avoir compris la justification. Par contre en essayant de refaire la même méthode pour p(X=k) je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider pour p(X=k) ? Je calcule p(X>k) = 6^k - p(x=k) / 6^k
Y a t-il une méthode plus simple pour calculer p(X>k) que de passer par là ?

Posté par apaugam apaugam

Pour la question suivante c'est la probabilité d'obtenir k premiers tirages strictement décroissant
donc des que k=7 la probabilité est nulle
pour k=6 il n'y a qu'une possibilité : probabilité
il reste à finir le dénombrement pour k=5, 4, 3, 2

Posté par blanchecolombe blanchecolombe

merci, je vais essayer de le faire et poster ma réponse ensuite si j'ai réussi

Posté par blanchecolombe blanchecolombe

j'ai fini le dénombrement pour k=5, 4, 3, 2, je trouve :

p(X>5)= 30/6^5
p(X>4)= 84/6^4
p(X>3)= 120/6^3
p(X>2)= 15/36

Mais est-ce terminé ? Puis je répondre à la question P(X>k)= ? par une distinction des cas ??
Dois-je rédiger autrement ?

Posté par apaugam apaugam

pour P(X>5), 30 cela me parait beaucoup
des suites decroissantes de 5 termes il y en a autant que de valeurs sautées entre 1 et 6
6,5,4,3,2
6,5,4,3,1
6,5,4,2,1
6,5,3,2,1
6,4,3,2,1
5,4,3,2,1

Posté par blanchecolombe blanchecolombe

Oui, j'avais oublié 6,5,4,2,1, et j'ai compté pour tous 6 possibilités de chaque. Donc finalement en ayant oublié une solution j'avais fait 6*5. Pourquoi ne doit on pas compter 6 possibilités de chaque ?

Du coup, cela fait 6/6^5 pour p(X>5), 14/6^4 pour p(X>4), 20/6^3 pour p(X>3) et 15/6^36 pour p(X>2).

Comment dois je rédiger le p(X>k)= ? avec ces solutions ? Je divise selon les cas, estt-ce juste ?

Posté par blanchecolombe blanchecolombe

Je viens de comprendre pourquoi ce n'était qu'une possibilité pour chaque. La question de la rédaction me pose toujours problème, car après je dois trouver la loi de X, espérance, variance, etc, et avec mes résultats je ne sais pas par où partir.

Posté par apaugam apaugam

des suites decroissantes de 4 termes il y en a autant que de 2 valeurs sautées entre 1 et 6
cela doit faire[tex]C_6^2[=15/tex]


des suites decroissantes de 3 termes il y en a autant que de 3 valeurs sautées entre 1 et 6
cela doit faire[tex]C_6^3[=20/tex]
etc
pour la loi de X
P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)