boule fermé de norme infini dans la tribu borélienne de R²

Posté par vissey vissey

Bonjour à tous,

Mon problème en mathématques c'est que je rédige très mal, malgré que je connaisse plus ou moins la réponse.
Mon problème ici concerne les boréliens:
notons || . || la norme infini  dans  R²   c'est à dire: ||x|| = max{|x1|,|x2|}
Soit x ²  et r ]0, [
Soit B(x,r) la boule fermé muni de la norme infinie.
Démontrer que B(x,r)   à la tribu borélienne de ²  et que ( B(x,r) ) > 0 où est la mesure de borel de ² .


Pour ( B(x,r) ) > 0 ,  d'après la définition d'une boule fermé muni de la norme infinie , on peut dire que   (B(x,r)) =   ([0,r[) = r  car c'est une mesure de borel de ² et comme r>0 alors (B(x,r))> 0.

Je ne sais pas si c'est correct.
pour montrer que B(x,r)   à la tribu borélienne de ² je ne sais pas comment débuter.

Je vous remercie de votre aide.

Posté par Fractal Fractal

Bonjour

Pour montrer que B(x,r) appartient à la tribu borélienne de R² il suffit de dire que son complémentaire est ouvert, donc appartient par définition à la tribu, et comme cette dernière est stable par passage au complémentaire, B(x,r) appartient à la tribu borélienne de R².

Ensuite, comment est définie dans ton cours la mesure de Borel de R²? (et c'est la mesure de Borel ou de Lebesgue?)
En tous cas ton raisonnement me semble faux étant donné que la surface d'une boule est proportionnelle au carré de son rayon.

Fractal

Posté par otto otto

Une boule fermée est un fermé et les fermés sont des boréliens par définition ...