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DM Fonction Dérivée

Posté par
alexv
03-09-08 à 17:15

Bonjour à tous,
j'ai ce DM à faire, et je suis complétement bloquée, j'ai vraiment besoin d'aide.
Merci d'avance!!

ABCD est un carré de côté 1.
C   est le quart de cercle  de centre A, de rayon AB contenu dans le carré. T est un point de C distinct de B et D. La tangente à C en T coupe le segment [DC] en M et le segment [BC] en N. On note x=DM et y=BN

1. a) Démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2
b) Démontrer que MN=MT + TN=x+y
c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
d) Calculer alors MN en fonction de x

2. f est la fonction définie sur ]0;1] par f(x) =(x²+1)/(x+1).
a) Etudier les variations de f.
b) Pour quelle position du point M la longueur MN est-elle minimale?

DM Fonction Dérivée

Posté par
watik
re : DM Fonction Dérivée 03-09-08 à 17:33

bonjour

1)
a)
MN²=MC²+NC²=(1-x)²+(1-y)²
   =x²-2x+1+y²-2y+1
   =x²+y²-2x-2y+2

b) MN est tangente à C en T et DC est tangente à C en D donc AM est un axe de symétrie du quadrilatère ADMT
donc MT=DMdonc MT=x
tu montrera facilement que TN=y

donc MN=x+y

c) MN²=(x+y)²=x²+y²+2xy
comme MN²=x²+y²-2x-2y+2
donc
2xy=-2x-2y+2 donc xy=-x-y+1

y(x+1)=1-x

y=(1-x)/(1+x)

d)MN=x+y=x+(1-x)/(1+x)
    =(x+x²+1-x)/(1+x)
    =(1+x²)/(1+x)

2a) f'(x) =1-2/(1+x)²
          =((1+x)²-2)/(1+x)²
          =(x+1-V2)(c+1+V2)/(1+x)²

f'x)=0 ssi x=-1+V2 ou x=-1-V2
seil x=-1+V2 convient puisque x appartient à ]0,1]

f est décoisaante dans ]0,-1+V2] et croissante sur [-1,+V2] donc f atteint sa valeur minimal en x=-1+V2

en x=-1+V2 MN=(1+1+2-2V2)/(V2)
             = (4V2-4)/2
             =2V2-2

Posté par
Flo2rian
re : DM Fonction Dérivée 01-04-12 à 13:43

Bonjour, j'ai le même exercice à faire dans un DM, je ne comprend pas comment trouver TN=y dans la question 1.b). Il faut s'aider des tangentes parce que je n'ai pas compris. Merci de m'aider

Posté par
Dreamdust
re : DM Fonction Dérivée 10-05-13 à 10:01

Bonjour, j'ai cet exercice à faire en DM et je suis comme Flo2rian, je ne comprend pas la réponse de la question 1)b ni comment calculer TN. De plus, la réponse à la question 2)a et b me laisse perplexe. Pouvez vous me réexpliquer la démarche en plus détaillé SVP. Merci d'avance.

Posté par
watik
re : DM Fonction Dérivée 10-05-13 à 10:33

rebonjour

1b) considère les deux triangle ATM et ADM
ils sont rectangles en T et D respectivement
d'après le th de pythagore dans ATM tu as : AM²=AT²+TM²=1+TM² car ||AT||=1
et d'après le th de pythagore dans ADM tu as : AM²=AD²+DM²=1+x²    car ||AD||=1 et ||DM||=x

donc
1+TM²=1+x² donc TM²=x² donc ||TM||=x   ; x>=0

tu fais parail pour montrer: ||TN||=y
le reste de la démo du 03-09-08 à 17:33 reste valable.

2a)

f(x)=(x²+1)/(x+1) avec x€]0;1[
x²+1=x(x+1)-x+1
    =x(x+1)-(x+1)+2
    =(x-1)(x+1)+2
donc
f(x)=((x-1)(x+1)+2)/(x+1)
    =(x-1)+(2/(x+1))
sa dérivée est:
f'(x)=(x-1)'+(2/(x+1))'
     =1-2/(x+1)²

f'(x) =1-2/(1+x)²
          =((1+x)²-2)/(1+x)²
          =(x+1-V2)(x+1+V2)/(1+x)²

f'(x)=0 ssi x=-1+V2 ou x=-1-V2
seul x=-1+V2 convient puisque x appartient à ]0,1[

f est décoisaante dans ]0,-1+V2] et croissante sur [-1+V2;1[ donc f atteint sa valeur minimal en x=-1+V2

en x=-1+V2 MN=(1+1+2-2V2)/(V2)
             = (4V2-4)/2
             =2V2-2

Posté par
nsb
re : DM Fonction Dérivée 09-04-15 à 22:29

Bonsoir.
J'ai le même dm...
J'ai mieux compris les premières questions, merci.
Mais je ne comprends pas la 2e question, vous l'avez expliqué plusieurs fois mais je ne comprends vraiment pas

Posté par
nsb
re : DM Fonction Dérivée 23-04-15 à 16:44

J'ai besoin d'aide !
Je ne comprends pas la méthode de la 2e question

Posté par
sasalou7
re : DM Fonction Dérivée 29-04-17 à 15:46

Pour la question 2 :

a) Il faut dériver f(x) en f'(x)
Avec votre résultat de f'(x) vous utilisez la formule  b2-4ac pour obtenir Delta
Vous cherchez ensuite les racines x1 et x2 avec les formules :
x1= -b-VDelta/2a
x2= -b+VDelya/2a

On remarque que seul le résultat de x2 conviendra pour le domaine de définition de la fonction f

Pour finir il suffit de faire un tableau de variation de f'(x) puis de f(x)

b) La réponse à cette question est qu'il faut faire f(x2).



PS : V est la signification de "racine carré"

Posté par
Mmm5
re : DM Fonction Dérivée 29-01-18 à 16:25

Bonjour j'ai pas compris comment répondre à la question d) du grand 1, pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

Posté par
hekla
re : DM Fonction Dérivée 29-01-18 à 17:08

Bonjour

vous avez montré que MN^2=x^2+y^2-2x-2y+2 et que MN=x+y

de ceci vous pouvez déduire une relation entre x et y  d'où y en fonction de x  

comme MN=x+y vous pouvez donc écrire MN uniquement en fonction de x

Posté par
Mmm5
re : DM Fonction Dérivée 29-01-18 à 17:18

oui mais je comprends pas pourquoi on fait x+y=x+(1-x)/(1+x)

Posté par
hekla
re : DM Fonction Dérivée 29-01-18 à 17:34

il faut reprendre le calcul précédent

x^2+y^2-2x-2y+2=x^2+y^2+2xy

\cancel{x^2+y^2}-2x-2y+2=\cancel{x^2+y^2}+2xy

en simplifiant par 2 d'abord -x-y+1=xy

en regroupant les y dans le second membre  et en permutant

xy+y=-x+1\quad;\quad  y(x+1)=1-x \quad;\quad  x\not=1 \quad y=\dfrac{1-x}{1+x}

on vient bien d'obtenir une relation entre x et y

donc comme  MN=x+y=x+\dfrac{1-x}{1+x}

à réduire au même dénominateur

Posté par
Mmm5
re : DM Fonction Dérivée 29-01-18 à 17:45

Merci beaucoup, pour la question 2)a) pourquoi x^2+1=X(X+1)-X+1 je comprends pas...

Posté par
hekla
re : DM Fonction Dérivée 29-01-18 à 17:52

développez tout simplement  x(x+1)-x+1

respectez la casse   X\not=x

f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}

étudiez la fonction : dérivée, signe  etc



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