Bonjour.

La matrice I étant élément neutre multiplicatif dans M₃(IR), on a bien sûr A.I = I.A.

On sait que cette situation est rare dans M₃(IR), puisqu'en principe A.B et B.A diffèrent.

Cela étant, la formule du binôme de Newton, ne s'applique qu'à des éléments qui commutent.

En effet : (A + B)² = A² + AB + BA + B² ne s'écrit A² + 2AB + B² que si AB = BA.

De même pour (A + B)³

Mais, comme A et I commutent on a bien (A - I)³ = A³ - 3A² + 3A - I

Dans un anneau quelconque, si a et b commutent(a*b=b*a), alors on a (a+b)^n=somme des(k parmis  n)a^k*b^(n-k).
(k allant de 0 à n)

or justement, -I commute avec toutes matrices, en particulier avec A !
et (A-I)^3=A^3+3A²(-I)+3A(-I)²+(-i)^3=A^3-A²+3A-I
(car AI=IA=A)

Bonjour,

Su deux matrices A et B commutent, d'est-à-dire si AB = BA, tu peux développer (A+B)^n en utilisant la bonne vieille formule du binôme. C'est le cas ici, puisque I commute avec toute matrice. Et je te rappelle que (a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab² +b^3...

merci beaucoup ^^