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Polynome

Posté par
DTB 04-09-08 à 18:23

Bonsoir, j'ai une petite question
H:=P->P(X+1)-2P(X)+P(X-1) dans Rn[X]
Comment montrer que Ker(H) est R1[x] facilement?
merci

Posté par
Nightmarere : Polynome 04-09-08 à 18:24

Salut

Double inclusion par exemple? Ou alors tu peux chercher la dimension de Ker(H) et montrer que X est générateur.

Posté par
perroquetre : Polynome 04-09-08 à 18:25

Bonjour, DTB

En montrant que si P est un polynôme de degré supérieur ou égal à 2, alors, H(P) est de degré égal au degré de P, et ne peut donx pas être le polynôme nul.

Posté par
perroquetre : Polynome 04-09-08 à 18:26

Bonjour, Nightmare

Posté par
Nightmarere : Polynome 04-09-08 à 18:27

Salut perroquet

Posté par
DTBre : Polynome 04-09-08 à 18:30

perroquet
Bonjour, DTB

En montrant que si P est un polynôme de degré supérieur ou égal à 2, alors, H(P) est de degré égal au degré de P, et ne peut donx pas être le polynôme nul.


Ce serait pour le sens non trivial de la double inclusion donc?

Posté par
perroquetre : Polynome 04-09-08 à 18:51

Oui

Posté par
DTBre : Polynome 04-09-08 à 20:46

En fait deg(H(P)) est différent de deg(P) pour certain P de deg>1
H(x^2)=2
H(x^3)=6x ....
Ca ne marche plus!

Posté par
perroquetre : Polynome 04-09-08 à 21:02

Toutes mes excuses pour l'indication incorrecte  

Pour n supérieur ou égal à 2:
H(X^n)=(X+1)^n-2X^n+(X-1)^n=2 {n \choose 2}X^{n-2}+\ldots      donc de degré n-2
Donc, à partir de ceci, on pourra affirmer que l'image d'un polynôme de degré n\geq 2 est un polynôme de degré   n-2   , et donc pas le polynôme nul


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