Une suite à borner dans [0;1]

Posté par charmuzelle charmuzelle

Bonjour

Je cherche à prouver que tous les termes de la suite

u_n=+ln(n) sont compris dans l'intervalle [0;1]

Avez-vous une idée ?

Récurrence ? - Je n'arrive pas à passer de ln(n) à ln(n+1) et à gérer les termes qui s'ajoutent à la somme.

Développer ln(n) à l'aide d'une formule de Taylor ? Je n'aboutis pas.

Je n'arrive pas à minorer ln(n). Et je ne sais pas si la somme est exprimable ou bornable en fonction de n par une formule sans somme.

Avez-vous des idées ?

Merci !!

Posté par charmuzelle charmuzelle

Désolée, j'ai fait une erreur dans la formule : c'est la somme - ln(n), pas +.

Dans la question suivante, on veut prouver que la suite est croissante.

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Comparaison suite - intégrale, toujours

Posté par Matouille2b Matouille2b

Bonsoir

On pose de sorte que soit une primitive de f

On pose
et

On a

(car f décroissante sur [n;n+1]

De meme


Donc les suites et sont adjacente
On note leur limite commune (appelée constante d'Euler)

Et i.e

Posté par charmuzelle charmuzelle

Bonjour. Merci pour vos réponses ! Comme mes révisions son encore incomplètes (mais quand seront-elles complètes  ?), j'avoue que je ne saisis pas l'histoire de la comparaison suite-intégrale.

Pour le signe de a_n+1-a_n, j'avoue que ça ne me saute pas aux yeux... mais en interprétant l'intégrale sous forme d'aire entre l'axe des abscisses et la courbe d'une fonction continue positive sur une "largeur" de 1, je comprends pourquoi l'intégrale est supérieure à f(n+1).

La a_n, c'est ma u_n ??

On a a₁ = 1, a_n décroissante, donc pour tout n supérieur ou égal à 1, a_n soit u_n inférieur ou égal à 1.

b_n est définie à partir de n=2. Elle est croissante. b₂ = 1 - ln(2) = ln(e) - ln(2) = ln(e/2) et comme e>2, e/2 > 1 donc b₂>0 ainsi que tous les b_n.

u_n est donc une suite décroissante de 1er terme 1, qui converge vers une limite strictement supérieure à 0.

C'est pourquoi tous les termes de u_n sont compris dans l'intervalle ]0;1]

u_n converge soit par adjacence de a_n et b_n, soit parce qu'elle est décroissante et minorée.

Ai-je compris correctement ? Quelle partie du programme de prépa dois-je réviser pour trouver ce genre de raisonnement ?

Merci en tout cas, j'ai de la chance d'avoir des correspondants calés

Posté par charmuzelle charmuzelle

Ce qui me semble étrange, c'est qu'on ne demande de prouver la monotonie puis la convergence de u_n qu'aux questions suivantes...

Posté par charmuzelle charmuzelle

Bonjour

Ayant un peu médité sur la question (le truc de la comparaison série/intégrale m'est un peu revenu...), j'ai pensé à ceci pour minorer la suite :

la fonction inverse étant décroissante sur ] 0 ; + [,

Pour tout n 1, on a



Comme

on a, pour tout n 1, soit 0

Par contre, pour la majorer, je ne peux pas utiliser l'intégrale de 1/(t-1), puisque cette fonction n'est pas définie en 1.

Je prends donc le parti de prouver que u_n, de premier terme 1, est décroissante.

Et pour cela, je vais essayer l'idée de Matouille2b.

Merci encore et à bientôt.

Posté par charmuzelle charmuzelle

Voilà, je reprends la démo de Matouille pour la décroissance de (an), on obtient que (un) est strictement décroissante et bornée dans [0;1], donc elle converge vers une limite comprise dans cet intervalle, et même dans ]0;1[ en ajoutant quelques précisions.